Sistema autónomo: prolongación en el tiempo a un conjunto

Estudiamos la prolongación en el tiempo a un conjunto relativo a un sistema autónomo.

Enunciado
Se considera el sistema

$\left \{ \begin{matrix} x’_1=-x_2-x_1(1-x_1^2-x_2^2)\\x’_2=x_1-x_2(1-x_1^2-x_2^2).\end{matrix}\right.$

Demostrar que toda solución que pasa por un punto del círculo $x_1^2+x_2^2<1$ no se puede prolongar en el tiempo al conjunto $x_1^2+x_2^2>1$.

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Expresemos el sistema dado en coordenadas polares. De $\rho^2=x_1^2+x_2^2$ y derivando respecto de la variable independiente $t:$

$2\rho\rho’=2x_1x’_1+2x_2x’_2\mbox{ o bien }\rho\rho’=x_1x’_2+x_2x’_2 .\qquad (1)$

De $\theta=\arctan (x_2/x_1)$ y derivando respecto de la variable independiente $t:$

$\theta’=\displaystyle\frac{1}{1+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}}\;\displaystyle\frac{x’_2x_1-x’_1x_2}{x_1^2}=\displaystyle\frac{1}{\rho^2}(x’_2x_1-x’_1x_2).\qquad (2)$

Sustituyendo las igualdades del sistema dado en (1) y (2) obtenemos

$
\left \{ \begin{matrix} \rho\rho’=-x_1x_2-x_1^2(1-x_1-x_2^2)+x_2x_1-x_2^2(1-x_1-x_2^2)\\\theta’=\dfrac{1}{\rho^2}\left(x_1^2-x_1x_2(1-x_1-x_2^2)+x_2^2+x_1x_2(1-x_1-x_2^2)\right).\end{matrix}\right.$

El sistema dado en coordenadas cartesianas es pues equivalente al sistema en polares:

$\left \{ \begin{matrix} \rho’=-\rho(1-\rho^2)\\\theta’=1.\end{matrix}\right.\qquad (3)$

Claramente $\rho=1,\;\theta=t$ es solución de (3) siendo su órbita correspondiente la circunferencia unidad $C$. Sea $(a_1,a_2)$ un punto que satisface $a_1^2+a_2^2<1$, es decir un punto interior del disco unidad $D$. Si la solución $\varphi$ que pasa por $(a_1,a_2)$ se pudiera prolongar en el tiempo hacia el exterior de $D$, entonces la órbita correspondiente tendría que atravesar $C$, en contradicción con el teorema de unicidad de las soluciones (el campo es de clase $\geq 1$ en $\mathbb{R}^2$).

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