Núcleo e imagen de una aplicación lineal

Proporcionamos ejercicios sobre núcleo e imagen de una aplicación lineal.

TEORÍA

1 Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^4:$ $$f(x,y.z)=(x+2y-z,\;-x+y+2z,\;3y+z,\;3x-5z).$$ Hallar unas bases de $\ker f$ e $\operatorname{Im}f.$

SOLUCIÓN

2 Sea $D:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}[x]$ la aplicación lineal definida dada por $D(p)=p’$ (derivada de $p$). Determinar $\ker D$ e $\operatorname{Im}D.$

SOLUCIÓN

3 Se considera la aplicación $$f:\mathbb{R}^{n\times n}\to\mathbb{R}^{n\times n},\quad f(X)=X-X^T$$ en donde $X^T$ representa la traspuesta de $X.$

$1)$ Demostrar que $f$ es lineal.
$2)$ Determinar $\ker f$ e $\operatorname{Im}f.$

SOLUCIÓN

4 Sea $f:E\to F$ lineal e inyectiva. Demostrar que si $S=\{v_1,\ldots,v_p\}\subset E$ es sistema libre, también $f(S)$ es sistema libre.

SOLUCIÓN

5  Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que:

$a)$ $\ker f$ es subespacio vectorial de $E.$
$b)$ $\operatorname{Im} f$ es subespacio vectorial de $F.$

SOLUCIÓN

6 Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal, $E_1$ subespacio de $E$ y $F_1$ subespacio de $F.$ Demostrar que

$(i)$ La imagen directa de $E_1,$ es decir $f(E_1),$ es subespacio de $F.$
$(ii)$ La imagen inversa de $F_1,$ es decir $f^{-1}(F_1),$ es subespacio de $E.$
$(iii)$ Particularizar para $E_1=E$ y $F_1=\{0\}.$

SOLUCIÓN

7 Definir dos endomorfismos en $\mathbb{R}[x],$ uno inyectivo pero no sobreyectivo y otro sobreyectivo pero no inyectivo. ¿Es posible alguna de las dos situaciones anteriores para un espacio vectorial $E$ de dimensión finita?

SOLUCIÓN
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