Integral doble impropia con parámetros

Enunciado
Estudiar en función de los valores reales de $\alpha$ y $\beta$ la convergencia de la integral impropia

$\displaystyle\iint_{x,y\geq 0} \dfrac{dxdy}{1+x^{\alpha}+y^{\beta}}.$

Cuando resulte convergente, expresar su valor en términos de la función gamma de Euler. Sugerencia: Hacer el cambio de variables $x^{\alpha}=u^2,\;y^{\beta}=v^2$ seguido de un cambio a coordenadas polares.

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
De las relaciones $x=u^{2/\alpha},\;y=v^{2/\beta}$ obtenemos el jacobiano de la transformación:

$J=\begin{vmatrix}{\dfrac{{\partial x}}{{\partial u}}}&{\dfrac{{\partial x}}{{\partial v}}}\\{\dfrac{{\partial y}}{{\partial u}}}&{\dfrac{{\partial y}}{{\partial v}}}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\dfrac{2}{\alpha}u^{\frac{2}{\alpha}-1}}&{0}\\{0}&{ \dfrac{2}{\beta}v^{\frac{2}{\beta}-1} }\end{vmatrix}=\dfrac{4}{\alpha\beta}u^{\frac{2}{\alpha}-1}v^{\frac{2}{\beta}-1}.
$

La integral dada $I(\alpha,\beta)$ se puede expresar por tanto en la forma:

$I(\alpha,\beta)=\dfrac{4}{\alpha\beta}\displaystyle\iint_{u\geq 0,v\geq 0}\dfrac{u^{\frac{2}{\alpha}-1}v^{\frac{2}{\beta}-1}}{1+u^2+v^2}\;dudv.
$

Efectuando el cambio a coordenadas polares:

$I(\alpha,\beta)=\dfrac{4}{\alpha\beta}\displaystyle\iint_{0\leq \theta \leq \pi/2,\;\rho\geq 0}\dfrac{ \rho^{\frac{2}{\alpha}+\frac{2}{\beta}-1} (\cos \theta)^{\frac{2}{\alpha}-1}(\sin\theta)^{\frac{2}{\beta}-1}}{1+\rho^2}\;d\rho d\theta$ $=
\dfrac{2}{\alpha\beta}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\rho^{\frac{2}{\alpha}+\frac{2}{\beta}-1}}{1+\rho^2}\;d\rho
\displaystyle\int_0^{\pi/2}2(\cos \theta)^{\frac{2}{\alpha}-1}(\sin\theta)^{\frac{2}{\beta}-1}\;d\theta.$

Llamemos $I_1=\int_0^{\pi/2}2(\cos \theta)^{\frac{2}{\alpha}-1}(\sin\theta)^{\frac{2}{\beta}-1}\;d\theta$. Usando la conocida fórmula

$2\int_0^{\pi/2}(\cos \theta)^{2p-1}(\sin\theta)^{2q-1}\;d\theta=B(p,q)$

e identificando coeficientes $2p-1=2/\alpha -1,\;2q-1=2/\beta -1$ obtenemos $p=1/\alpha$ y $q=1/\beta$, es decir $I_1=B(1/\alpha,1/\beta)$. Efectuando ahora el cambio $u=1/(1+\rho^2)$ tenemos $\rho^2=1/u-1$, con lo cual $2\rho d\rho=-du/u^2$. Entonces

$\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\rho^{\frac{2}{\alpha}+\frac{2}{\beta}-1}}{1+\rho^2}\;d\rho=\displaystyle\int_1^0u\left(\dfrac{1}{u}-1\right)^{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}-\frac{1}{2}}\left(-\dfrac{du}{u^2}\right)$ $=
\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1\left(\dfrac{1-u}{u}\right)^{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}-\frac{1}{2}}u^{-1}du=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1u^{-\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}-\frac{1}{2}}(1-u)^{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}-\frac{1}{2}}du.$

Identificando en $B(p,q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}\;dx$ obtenemos $p=1/2-1/\alpha-1/\beta$ y $q=1/2+1/\alpha+1/\beta$. Es decir,

$\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\rho^{\frac{2}{\alpha}+\frac{2}{\beta}-1}}{1+\rho^2}\;d\rho=\frac{1}{2}B \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta},\;\frac{1}{2}+\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right).$

Queda por tanto

$I(\alpha,\beta)=\dfrac{1}{\alpha\beta}B \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta},\;\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}\right)B \left(\dfrac{1}{\alpha},\;\dfrac{1}{\beta}\right).$

Las condiciones de convergencia son

$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}>0,\;\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}>0,\;\dfrac{1}{\alpha}>0,\;\dfrac{1}{\beta}>0.$

Equivalentemente, $1/\alpha+1/\beta<1/2\;\;(\alpha>0,\;\beta>0)$.

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