Matriz de una aplicación lineal

Proporcionamos ejercicios sobre matriz de una aplicación lineal.

TEORÍA

1 Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales reales y $B_E=\{u_1,u_2,u_3\},$ $B_F=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Se considera la aplicación lineal $f:E\to F$ definida por: $$\left \{ \begin{matrix}  f(u_1)=v_1-v_2+v_3 \\f(u_2)=2v_1+2v_2+v_3+2v_4\\f(u_3)=4v_2-v_3+2v_4.\end{matrix}\right.$$ Hallar la matriz $A$ de $f$ respecto de las bases $B_E$ y $B_F.$

SOLUCIÓN

2 Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ de finida por: $$f(x,y,z)=(x+y+z,\; 3y).$$ Determinar la matriz de $f$ con respecto de las base canónica $B$ del espacio inicial y la $B’=\{(2,0),(0,-1)\}$ del espacio final.

SOLUCIÓN

3 Sea $\mathbb{R}_5[x]$ el espacio vectorial real de los polinomios de grado $\leq 5$ con coeficientes en $\mathbb{R}$. Se considera la aplicación lineal $$T:\mathbb{R}_5[x]\rightarrow{\mathbb{R}_5[x]},\quad T(p(x))=p(x+1)-p(x).$$ Hallar la matriz de $T$ con respecto a la base canónica $B$ en el espacio inicial y la misma $B$ en el espacio final.

SOLUCIÓN

4 Sea $P_3(\mathbb{R})$ el espacio vectorial de los polinomios reales de grado $\leq 3,$ $M_2(\mathbb{R})$ el de las matrices cuadradas reales de orden $2$ y $\alpha$ un número real. Definimos la aplicación $T:P_3(\mathbb{R})\to M_2(\mathbb{R}),$ $$T_{\alpha}(p)=\begin{bmatrix}{p(\alpha)}&{p(\alpha +1)}\\{p’(\alpha)}&{p’(\alpha+1)}\end{bmatrix}.$$ Demostrar que $T_{\alpha}$ es lineal y hallar su matriz en las respectivas bases canónicas de $P_3(\mathbb{R})$ y $M_2(\mathbb{R}).$

SOLUCIÓN

5 Sea el espacio vectorial usual $\mathbb{C}^2$ sobre el cuerpo de los reales. Sea la transformación lineal $T:\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}^2$ dada por $$T(z_1,z_2)=(iz_1-z_2,z_2).$$ Obtener la matriz asociada a $T$ referida a la base de $\mathbb{C}^2:$ $$B=\{{(1,0),(2i,0),(0,1),(0,2-3i)\}}.$$

SOLUCIÓN

6 Sea $\varphi$ el endomorfismo del espacio vectorial de los polinomios reales de grado $\leq 2$ que asigna a cada polinomio $p(x):$ $$\varphi [p(x)]=\frac{1}{x}\int_0^1p(t+x)\;dt.$$ Hallar la matriz $A$ de $\varphi$ en la base $\{1,x,x^2\}.$

SOLUCIÓN

7 Se considera el espacio vectorial $\mathbb{C}$ sobre el cuerpo $\mathbb{R}.$

$1)$ Demostrar que $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C},$ $f(z)=(1+i)z$ es lineal.
$2)$ Demostrar que $B=\{i,1+i\}$ es base de $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}.$
$3)$ Hallar la matriz de $f$ en la base $B.$

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.