Circunferencia, cónica y forma cuadrática

Enunciado
Se considera la circunferencia $x^2+y^2=a^2$, la cónica $a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy=a^2$ y la forma cuadrática $Q(x,y)=(a_{11}-1)x^2+(a_{22}-1)y^2+2a_{12}xy$.

1. Demostrar que si la forma cuadrática $Q(x,y)$ es definida positiva, entonces la circunferencia y la cónica no se cortan. Enunciar el recíproco y estudiar su validez, dar una demostración en caso afirmativo o construir un contraejemplo en caso negativo.

2. Estudiar y describir geométricamente las cónicas $a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy=a^2$ para las cuales la forma cuadrática $Q(x,y)$ es definida positiva.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. Supongamos que existiera un punto $(\alpha,\beta)$ que perteneciera a la circunferencia y cónica dadas. Entonces se verificaría

$\left \{ \begin{matrix}\alpha^2+\beta^2=a^2 \\a_{11}\alpha^2+a_{22}\beta^2+2a_{12}\alpha \beta=a^2. \end{matrix}\right.$

Restando a la segunda ecuación la primera obtenemos

$(a_{11}-1)\alpha^2+(a_{22}-1)\beta^2+2a_{12}\alpha \beta =0,$

o de forma equivalente $Q(\alpha,\beta)=0$. Como $Q$ definida positiva, ha de ser necesariamente $(\alpha,\beta)=(0,0)$, pero esto es absurdo pues $(0,0)$ no satisface la ecuación de la circunferencia. Concluimos pues que si $Q$ es definida positiva, la circunferencia y la cónica no se cortan.

Veamos que el recíproco es falso. En efecto, consideremos la circunferencia $x^2+y^2=1$ y la cónica $x^2/2+y^2/2=1$. Es claro que no se cortan y la forma cuadrática $Q$ es

$Q(x,y)=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)x^2+\left(\dfrac{1}{2}-1\right)y^2=-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}y^2,$

que no es definida positiva.

2. Sea $(x,y)$ un punto de la cónica. Este punto no puede ser el origen pues $a\neq 0$. Si $Q$ es definida positiva:

$\displaystyle\begin{aligned}
Q(x,y)&=(a_{11}-1)x^2+(a_{22}-1)y^2+2a_{12}xy\\
&=a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy-x^2-y^2\\
&=a^2-(x^2+y^2)>0.
\end{aligned}$

Es decir, todo punto de la cónica ha de estar en el círculo $D\equiv 0<x^2+y^2<a^2$ y recíprocamente, si la cónica está contenida en $D$, la forma cuadrática $Q$ es definida positiva. Concluimos que las cónicas para las cuales $Q$ es definida positiva son aquellas contenidas en el disco abierto $D$.

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