Endomorfismo en C sobre R

Estudiamos un endomorfismo en el espacio vectorial $\mathbb{C}$ sobre el cuerpo $\mathbb{R}.$

Enunciado
Sea $\mathbb{C}$ el espacio vectorial de los números complejos respecto del cuerpo $\mathbb{R}$ de los números reales. Se considera la aplicación $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ definida para todo $z\in\mathbb{C}$ por $f(z)=uz,$ en donde $u=1+i$ siendo $i$ la unidad imaginaria.

1. Demostrar que $f$ es una aplicación lineal.
2. Determinar la matriz asociada a $f$ respecto de la base canónica $\{1,i\}.$
3. Determinar el núcleo y la imagen de $f.$
4. Determinar según el valor de $n$ entero y positivo, la matriz de $f^n$ respecto de la base canónica.
5. Determinar la dimensión del espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ formado por todas las aplicaciones lineales que son combinación lineal de las $f^n,$ es decir del espacio vectorial $F=\{\sum_{n\in\mathbb{N}}a_nf^n:a_n\in\mathbb{R}\}.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. Para cualquier par de escalares $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ y para cada par de vectores $z,w\in\mathbb{C}$ se verifica:

$\displaystyle\begin{aligned}
f(\lambda z+\mu w)&=u(\lambda z+\mu w)\\
&=\lambda uz+\mu uw\\
&=\lambda f(z)+\mu f(w).
\end{aligned}$

Es decir, $f$ es lineal.

2. Hallando los transformados por $f$ de la base canónica obtenemos la matriz $A$ pedida:

$\left \{ \begin{matrix} f(1)=(1+i)1=1+i\\f(i)=(1+i)i=-1+i\end{matrix}\right. \Rightarrow A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{\;\;\;1}\end{bmatrix}\;.$

3. Denotemos por $(x_1,x_2)^t\in\mathbb{R}^2$ a las coordenadas de un vector $z\in\mathbb{C}$ y por $(y_1,y_2)^t\in\mathbb{R}^2$ a las coordenadas de su transformado $f(z).$ Entonces

$\begin{bmatrix}{y_1}\\{y_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{\;\;1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}\Rightarrow \ker f \equiv \left \{ \begin{matrix} x_1-x_2=0\\x_1+x_2=0\end{matrix}\right. \Rightarrow x_1=x_2=0.
$

Es decir, $\ker f=\{0\}.$ Usando el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales, tenemos $\dim{C}=\dim\ker f+\dim \mbox{Im}f$ o equivalentemente $\dim \text{Im }f=2$ lo cual implica $\mbox{Im}f=\mathbb{C}.$

4. La matriz de $f^n$ respecto de la base canónica es $A^n.$ Las primeras potencias son:

$A^1=A,\;A^2=\begin{bmatrix}{0}&{-2}\\{2}&{\;\;0}\end{bmatrix},\;A^3=\begin{bmatrix}{-2}&{-2}\\{\;\;2}&{-2}\end{bmatrix},\;A^4=\begin{bmatrix}{-4}&{\;\;0}\\{\;\;0}&{-4}\end{bmatrix}=-4I.$

De lo cual deducimos

$\left\{ \begin{matrix} A^5=-4A\\A^6=-4A^2\\A^7=-4A^3\\A^8=(-4)^2I\end{matrix}\right. \;\;
\left\{ \begin{matrix} A^9=(-4)^2A\\A^{10}=(-4)^2A^2\\A^{11}=(-4)^2A^3\\A^{12}=(-4)^3I\end{matrix}\right. \;\ldots\;
\left\{ \begin{matrix} A^{4k+1}=(-4)^kA\\A^{4k+2}=(-4)^kA^2\\A^{4k+3}=(-4)^kA^3\\A^{4k}=(-4)^kI\end{matrix}\right.$

para todo entero $k\geq 0.$

5. Fijada una base $B$ en un espacio vectorial $E$ de dimensión $n$ sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ sabemos que la aplicación entre el álgebra $\mbox{End }E$ de los endomorfismos sobre $E$ y el álgebra de matrices $\mathbb{K}^{n\times n}$ que asocia a cada endomorfismo $f\in\mbox{End }E$ su matriz con respecto a $B,$ es un isomorfismo de álgebras. En consecuencia bastará hallar la dimensión del subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ dado por $F_1=\{\sum_{n\in\mathbb{N}}a_nA^n:a_n\in\mathbb{R}\}.$

De los resultados del apartado 4. deducimos que este espacio está generado por el sistema de vectores $\{I,A,A^3,A^3\},$ es decir por los vectores

$I=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix},\;A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{\;\;\;1}\end{bmatrix},\;A^2=\begin{bmatrix}{0}&{-2}\\{2}&{\;\;0}\end{bmatrix},\;A^3=\begin{bmatrix}{-2}&{-2}\\{\;\;2}&{-2}\end{bmatrix}\;.$

Expresando estos vectores en coordenadas respecto de la base canónica de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ tenemos

$\dim F=\dim F_1=\mbox{rg}\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;0}&{0}&\;\;1\\{\;\;1}&{-1}&{1}&\;\;1\\{\;\;0}&{-2}&{2}&\;\;0\\{-2}&{-2}&{2}&-2\end{bmatrix}=2.$

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