Expresión matricial de una aplicación lineal

Proporcionamos ejercicios sobre la expresión matricial de una aplicación lineal.

TEORÍA

1 Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales reales y $B_E=\{u_1,u_2,u_3\},$ $B_F=\{v_1,v_2\}$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Se considera la aplicación lineal $f:E\to F$ definida por: $$\left \{ \begin{matrix}  f(u_1)=v_1+3v_2 \\f(u_2)=-2v_1+4v_2\\f(u_3)=v_1+v_2.\end{matrix}\right.$$ Hallar $f(x),$ siendo $x=u_2+5u_3.$

SOLUCIÓN

2 Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales reales y $B_E=\{u_1,u_2,u_3\},$ $B_F=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Se considera la aplicación lineal $f:E\to F$ definida por: $$\left \{ \begin{matrix}  f(u_1)=v_1-v_2+v_3 \\f(u_2)=2v_1+2v_2+v_3+2v_4\\f(u_3)=4v_2-v_3+2v_4.\end{matrix}\right.$$ Determinar unas bases de $\ker f$ e $\operatorname{Im}f.$

SOLUCIÓN

3 Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ definida por $$\left \{ \begin{matrix}  f(1,0,0,0)=(1,2,3) \\
f(1,1,0,0)=(-1,2,1) \\
f(1,1,1,0)=(0,1,-1) \\
f(1,1,1,1)=(1,0,1) .\\\end{matrix}\right.$$ Determinar unas bases de $\ker f$ e $\operatorname{Im}f.$

SOLUCIÓN

4  Deducir la fórmula de la ecuación matricial de una aplicación lineal.

SOLUCIÓN

5  Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ ambos de dimensión finita, y $f:E\to F$ una aplicación lineal. Sea $A=[f]_{B_E}^{B_F}$ la matriz de $f$ respecto de las bases  $B_E$ y  $B_F.$ Demostrar que:
$a)$ Los vectores de $F$ cuyas coordenadas son las columnas de $A$ en la base $B_F$ forman un sistema generador de la imagen de $f$.
$b)$ La dimensión de la imagen de $f$ es igual al rango de $A.$

SOLUCIÓN

6 Determinar los valores de $a\in\mathbb{R}$ para los cuales existe una transformación lineal  $F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ cumpliendo $$\begin{aligned}&F(1,0,2)=(2,0,1),\\&
F(-1,1,1)=(1,0,1),\\&
F(0,1,3)=(a,0,2).\end{aligned}$$

SOLUCIÓN

7 Sea $T:\mathbb{R}^5\to \mathbb{R}^5$ un endomorfismo que satisface:
$i)\;\ker(T)=\{(x,y,z,t,u)\in{R^{5}}:x+y-z=0,2y+t=0,u=0\}.$
$ii)$ Los vectores $v_1= (4,0,-3,-2,5)^{t}$ y $v_2=(0,2,1,-2,3)^{t}$ se transforman en sí mismos.
$iii)$ $T(v_3)=v_3$ siendo $v_3=(2,3,1,-6,8)^{t}$

$a)$ Hallar una base de $\ker T.$
$b)$ Dar una matriz $A$ de dicha aplicación lineal referida en la misma base en el espacio de partida y llegada, indicando la base considerada.

SOLUCIÓN

8 Sea $f:\mathbb{R}_3[x]\to \mathbb{R}_3[x]$ la aplicación lineal dada por $$f\left(p(x)\right)=xp’(x)+2kp^{\prime\prime}(x),\quad k\in\mathbb{R}.$$ Consideremos la base $\mathcal{B}=\{1,x^3,1+x,1-x^2\}$ de $\mathbb{R}_3[x].$ Se pide:

$a)$ Matriz asociada a $f$ en la base $\mathcal{B}.$
$b)$ Determinar los valores de $k$ para los que $\dim (\ker f)>1.$

SOLUCIÓN
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