Extremos locales de una integral biparamétrica

Enunciado
Hallar y clasificar los puntos críticos de la función:

$I(a,b)=\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}[(1+a\sin x)^5+80b^2]\;dx.$

Solución
Para todo $a,b\in\mathbb{R}$ la función integrando $f_{a,b}=(1+a\sin x)^5+80b^2$ es continua en $[-\pi/2,\pi/2],$ lo cual implica que la función $I$ está definida para todo $(a,b)\in\mathbb{R}^2.$ Hallemos sus puntos críticos.

$\dfrac{{\partial I}}{{\partial a}}(a,b)=\dfrac{{\partial I}}{{\partial a}}\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}[(1+a\sin x)^5+80b^2]\;dx=0,$ $\dfrac{{\partial I}}{{\partial b}}(a,b)=\dfrac{{\partial I}}{{\partial b}}\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}[(1+a\sin x)^5+80b^2]\;dx=0 .$

La función $F(x,a,b)=f_{a,b}(x)$ tiene derivadas parciales continuas respecto de $a$ y respecto de $b$ en $[-\pi/2,\pi/2]\times \mathbb{R}^2,$ por tanto podemos aplicar el teorema de derivación bajo el signo integral:

$\dfrac{{\partial I}}{{\partial a}}(a,b)=0\Leftrightarrow \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}5(1+a\sin x)^4\sin x\;dx=0,\quad (1)$ $
\dfrac{{\partial I}}{{\partial b}}(a,b)=0\Leftrightarrow \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}160b\;dx=160\pi b=0. \quad (2)$

Usando la fórmula del binomio de Newton:

$(1+a\sin x)^4\sin x=\sin x +4a\sin^2x+6a^2\sin^3x+4a^3\sin^4x+a^4\sin^5x.$

La integral en $[-\pi/2,\pi/2]$ de las funciones impares se anulan, en consecuencia la ecuación $(1)$ equivale a

$20a\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\sin^2x+a^2\sin^4x)\;dx=0.\quad (3)$

La función integrando $g(x)=\sin^2x+a^2\sin^4x$ es continua, no negativa y no nula, en $[-\pi/2,\pi/2,]$ en consecuencia la integral anterior es $>0.$ Deducimos pues de $(2)$ y $(3)$ que el único punto crítico de $I$ es $(a,b)=(0,0).$ Las parciales segundas de $I$ son:

$\displaystyle\begin{aligned}
\dfrac{{\partial^2 I}}{{\partial a^2}}I(a,b)&=\dfrac{{\partial }}{{\partial a}}\left(20a\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\sin^2x+a^2\sin^4x)\;dx\right)\\
&=20\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\sin^2x+a^2\sin^4x)\;dx\\
&+20a\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2a\sin^4x\;dx,
\end{aligned}$ $\dfrac{{\partial^2 I}}{{\partial a\partial b}}(a,b)=\dfrac{{\partial^2 I}}{{\partial b\partial a}}(a,b)=0,\;\dfrac{{\partial^2 I}}{{\partial b^2}}(a,b)=160\pi.$

Particularizando en el origen:

$\dfrac{{\partial^2 I}}{{\partial a^2}}(0,0)=20\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2x\;dx,\\\dfrac{{\partial^2 I}}{{\partial a\partial b}}(0,0)=\dfrac{{\partial^2 I}}{{\partial b\partial a}}(0,0)=0,\\\dfrac{{\partial^2 I}}{{\partial b^2}}(0,0)=160\pi.$

Ahora bien,

$\dfrac{{\partial^2 I}}{{\partial a^2}}(0,0)=20\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2x\;dx=40\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^2x\;dx=$ $40\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1-\cos 2x}{2}\;dx
=20\left[x-\dfrac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi/2}=10\pi.$

En consecuencia, la matriz hessiana de $I$ en $(0,0)$ es

$H(I,(0.0))=\begin{bmatrix}{10\pi}&{0}\\{0}&{160\pi}\end{bmatrix}\;.$

La matriz es definida positiva, por tanto $(0,0)$ es punto de mínimo relativo para $I.$

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