Subespacios vectoriales, caracterización

Proporcionamos ejercicios sobre subespacios vectoriales y demostramos el teorema de caracterización.

Enunciado
1. Analizar si $F=\{(x_1,x_2,x_3):x_1-x_2+2x_3=0\}$ es subespacio de $\mathbb{R}^3.$
2. Analizar si $F=\{(x_1,x_2,x_3):x_1^2-x_2^2=0\}$ es subespacio de $\mathbb{R}^3.$
3. Analizar si $F=\{p\in\mathbb{R}[x]:p(0)=p(1)\}$ es subespacio de $\mathbb{R}[x].$
4. Se considera el espacio vectorial real usual $\mathbb{R}^n\;(n\geq{2})$ . Analizar en cada caso si los siguientes subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ son o no subespacios.
   $1)\;\;F_1=\left\{(x_1,\ldots,x_n)\in{\mathbb{R}}^n:\;x_1x_2=0\right\}.$
   $2)\;\; F_2=\left\{{(x_1,\ldots ,x_n)\in{\mathbb{R}}^n:\;x_1+\ldots+x_n=1}\right\}.$
   $3)\;\; F_3=\left\{{(x_1,\ldots ,x_n)\in{\mathbb{R}}^n:\; x_1+\ldots+x_n=0}\right\}.$
   $4) \;\;F_4=\left\{{(x_1,\ldots, x_n)\in{\mathbb{R}}^n:\;x_1\in{\mathbb{Z}}}\right\}.$
5. Sea $E=\mathbb{K}^{n\times{n}}$ el espacio vectorial usual de las matrices cuadradas de ordenes $n\times{n}$ y con elementos en el cuerpo $\mathbb{K}$. Sea el subconjunto de $E$ dado por $F=\left\{A\in\mathbb{K}^{n\times{n}}:\;A^t=A\right\}$, es decir el subconjunto de $E$ formado por las matrices simétricas. Demostrar que $F$ es subespacio de $E.$
6. Sea $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ el espacio vectorial real usual de las funciones $f$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$. Se considera el subconjunto de $E$ : $F=\{f\in E : f(-x)=f(x)\;\;\forall x\in \mathbb{R}\}$ es decir, el subconjunto de las funciones pares. Demostrar que $F$ es subespacio de $E$.
7. Estudiar si $G=\{p\in\mathbb{R}[x]:p'(x)=0\}$ es subespacio de $\mathbb{R}[x].$
8. Averiguar si $F=\{A\in\mathbb{R}^{2\times 2}:A^2=0\}$ es subespacio de $\mathbb{R}^{2\times 2}.$
9. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y sea $F\subset{E}$. Demostrar que $F$ es subespacio vectorial de $E,$ si y sólo si se cumplen las tres siguientes condiciones:
   $(i)\;0\in{F}.$
   $(ii)$ Para todo $x\in{F}$ y para todo $y\in{F}$ se verifica $x+y\in{F}.$
   $(iii)$ Para todo $\lambda\in{\mathbb{K}}$ y para todo $x\in{F}$ se verifica $\lambda x\in{F}.$

Solución
1. $(i)$ El vector nulo $0=(0,0,0)$ de $\mathbb{R}^3$ satisface $0-0+2\cdot 0=0,$ por tanto pertenece a $F.$
   $(ii)$ Si $x=(x_1,x_2,x_3)$ e $y=(y_1,y_2,y_3)$ son vectores de $F,$ satisfacen $x_1-x_2+2x_3=0$ e $y_1-y_2+2y_3=0.$ El vector suma $x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$ verifica
   $$\begin{aligned}&(x_1+y_1)-(x_2+y_2)+2(x_3+y_3) \\
   &=(x_1-x_2+2x_3)+(y_1-y_2+2y_3)=0+0=0.
   \end{aligned}$$ es decir, las componentes de $x+y$ cumplen la condición para pertenecer a $F,$ luego $x+y\in F.$
   $(iii)$ Si $\lambda\in\mathbb{R}$ y $x=(x_1,x_2,x_3)\in F,$ el vector $\lambda x=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3)$ verifica $$\begin{aligned}&\lambda x_1-\lambda x_2+2\lambda x_3=\lambda (x_1-x_2+2x_3)=\lambda \cdot 0=0 .
   \end{aligned}$$ es decir, las componentes de $\lambda x$ cumplen la condición para pertenecer a $F,$ luego $\lambda \in F.$ Concluimos que $F$ subespacio de $\mathbb{R}^3.$
2. $(i)$ El vector nulo $0=(0,0,0)$ de $\mathbb{R}^3$ satisface $0^2-0^2=0,$ por tanto pertenece a $F.$
   $(ii)$ Elijamos los vectores $x=(1,1,0)$ e $y=(1,-1,0).$ Claramente $x$ e $y$ pertenecen a $F,$ sin embargo, $x+y=(1,0,0)$ no pertenece. Concluimos que $F$ no es subespacio de $\mathbb{R}^3.$
3. $(i)$ El vector cero de $\mathbb{R}[x]$ es el polinomio cero, que claramente satisface la condición para pertenecer a $F.$
   $(ii)$ Si $p,q\in F,$ se verifica $(p+q)(0)=p(0)+q(0)=p(1)+q(1)=(p+q)(1),$ es decir, $p+q\in F.$
   $(iii)$ Si $\lambda\in \mathbb{R}$ y $p\in\ F,$ se verifica $ (\lambda p)(0)=\lambda p(0)=\lambda p(1)=(\lambda p)(1),$ es decir, $\lambda p\in F.$ Concluimos que $F$ es subespacio de $\mathbb{R}[x].$
4. 1) (i) El vector cero de $\mathbb{R}^n$ esto es $(0,\ldots,0)$ pertenece a $F_1$ pues $x_1x_2=0\cdot{0}=0.$
   (ii) Elijamos $x=(1,0,\ldots ,0),\;y=(0,1,\ldots,0)$. Evidentemente $x$ e $y$ pertenecen a $F_1$, sin embargo $x+y=(1,1,\ldots ,0)\not\in{F_1}$. Es decir, $F_1$ no es subespacio de $\mathbb{R}^n.$
   2) (i) $(0,\ldots ,0) \not\in{F_2}$ pues $x_1+\ldots+x_n=0+\ldots+0=0\neq{1}$. Es decir, $F_2$ no es subespacio de $\mathbb{R}^n.$
   3) (i) $(0,\ldots ,0)\in{F_3}$ pues $x_1+\ldots+x_n=0+\ldots+0=0.$
   (ii) Consideremos los vectores $x=(x_1,\ldots ,x_n)\in{F_3}$, $y=(y_1,\ldots ,y_n)\in{F_3}$, entonces por la definición de $F_3$ se verifica $x_1+\ldots+x_n=0$ e $y_1+\ldots+y_n=0.$ Tenemos $x+y=(x_1+y_1,\ldots ,x_n+y_n)$ y además $$(x_1+y_1)+\ldots+(x_n+y_n)=(x_1+\ldots+x_n)+(y_1+\ldots+y_n)=0+0=0,$$ es decir $x+y\in{F_3}.$
   (iii) Sea $\lambda\in{\mathbb{R}}$ y $x=(x_1,\ldots,x_n)\in{F_3}$, entonces $x_1+\ldots+x_n=0$ y además $\lambda x=(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n).$ Por tanto $\lambda x_1+\ldots+\lambda x_n=\lambda(x_1+\ldots+x_n)=\lambda 0=0$ es decir, $\lambda x\in{F_3}$. Concluimos que $F_3$ es subespacio de $\mathbb{R}^n.$
   4) (i) $(0,\ldots,0)\in{F_4}$ pues $x_1=0\in{\mathbb{Z}}.$
   (ii) Sean $x=(x_1,\ldots ,x_n)\in{F_4}$ e $y=(y_1,\ldots ,y_n)\in{F_4}$, entonces $x_1\in{\mathbb{Z}},\;y_1\in{\mathbb{Z}}$. Tenemos $x+y=(x_1+y_1,\ldots ,x_n+y_n)$ y además $x_1+y_1\in{\mathbb{Z}}$, es decir $x+y\in{F_4}.$
   (iii) Elijamos $\lambda=1/2\in{\mathbb{R}}$ y $x=(1,0,\ldots ,0).$ Evidentemente $x\in{F_4}$, sin embargo $\lambda x=(1/2,0,\ldots ,0)\not\in{F_4.}.$ Concluimos que $F_4$ no es subespacio de $\mathbb{R}^n.$
5. (i) La matriz nula $0$ pertenece a $F$ pues $0^t=0.$
   (ii) Sean $A,\;B$ matrices de $F$, entonces $A^t=A$ y $B^t=B.$ Como la traspuesta de la suma es la suma de las traspuestas, tenemos $(A+B)^t=A^t+B^t=A+B$ es decir, $A+B\in{F}.$
   (iii) Sea $\lambda \in{\mathbb{K}}$ y $A\in{F}$, entonces $A^t=A.$ Como la traspuesta de un escalar por una matriz es el escalar por la traspuesta de la matriz, tenemos $(\lambda A)^t=\lambda A^t=\lambda A$ es decir, $\lambda A\in{F}.$ Concluimos pues que $F$ es subespacio de $\mathbb{K}^{n\times{n}}.$
   Nota. De manera totalmente análoga se demostraría que el subconjunto de $\mathbb{K}^{n\times{n}}$ formado por las matrices antisimétricas es también subsespacio de $E.$
6. (i) El vector cero de $E$ es la función $0:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida mediante $0(t)=0\;\;\forall t\in\mathbb{R}$, por tanto $0(-x)=0(x)=0\;\;\forall x\in\mathbb{R}.$ Es decir, $0\in F$.
   (ii) Sean $f,g\in F$. Usando la definición de suma de funciones tenemos para todo $x\in\mathbb{R}$ $$(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),$$ es decir $f+g\in F.$
   (iii) Sean $\lambda\in\mathbb{R},\;f \in F.$ Usando la definición de producto de un escalar por una función tenemos para todo $x\in\mathbb{R}$ $$(\lambda f)(-x)=\lambda f(-x)=\lambda f(x)=(\lambda f)(x),$$ por tanto $\lambda f\in F$. Concluimos pues que $F$ es subespacio de $E$.
   Nota. De manera análoga se demostraría que el subconjunto de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ formado por las funciones impares es también subespacio de $E.$
7. $(i)$ El vector cero de $\mathbb{R}[x]$ es el polinomio cero, que claramente satisface la condición para pertenecer a $G.$
   $(ii)$ Si $p,q\in G,$ se verifica $\left(p(x)+q(x)\right)’=p'(x)+q'(x)=0+0=0,$ es decir $p+q\in G.$
   $(iii)$ Si $\lambda\in \mathbb{R}$ y $p\in G,$ se verifica $\left(\lambda p(x)\right)’=\lambda p'(x)=\lambda\cdot 0=0,$ es decir, $\lambda p\in G.$ Concluimos que $G$ es subespacio de $\mathbb{R}[x].$
8. $(i)$ El vector cero de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ es la matriz cero, que claramente satisface la condición para pertenecer a $F.$
   $(ii)$ Consideremos las matrices $$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end{bmatrix}.\\
   \end{aligned}$$ Entonces, $A^2=0,$ $B^2=0$ y $(A+B)^2\neq 0$ como fácilmente se comprueba. Es decir, $A$ y $B$ pertenecen a $F$ pero no así $A+B.$ Concluimos que $F$ no es subespacio de $\mathbb{R}^{2\times 2}.$
9. Supongamos que $F\subset E$ es subespacio vectorial de $E$, entonces (por definición de subespacio) $F$ es espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$. Como consecuencia inmediata de los axiomas de espacio vectorial, se verifican las condiciones $(i)$, $(ii)$ y $(iii)$ del teorema.
   Recíprocamente, supongamos que se verifican las condiciones $(i)$, $(ii)$ y $(iii)$ del teorema. De $(i)$ deducimos que $F\neq \emptyset$. Por otra parte para todo $y\in F$ tenemos por $(iii)$ que $-y=(-1)y\in F$. De $(ii)$ deducimos $x+(-y)=x-y\in F$. Es decir, $(F,+)$ es grupo abeliano. También de $(iii)$ deducimos que la ley externa está bien definida sobre $F$ y además se cumplen sus correspondientes cuatro axiomas de igualdad. Todo esto implica que $F$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ y por tanto, subespacio de $E.$