Subespacios vectoriales, caracterización

Proporcionamos ejercicios sobre subespacios vectoriales y demostramos el teorema de caracterización.

TEORÍA

1 Analizar si $F=\{(x_1,x_2,x_3):x_1-x_2+2x_3=0\}$ es subespacio de $\mathbb{R}^3.$

SOLUCIÓN

2 Analizar si $F=\{(x_1,x_2,x_3):x_1^2-x_2^2=0\}$ es subespacio de $\mathbb{R}^3.$

SOLUCIÓN

3 Analizar si $F=\{p\in\mathbb{R}[x]:p(0)=p(1)\}$ es subespacio de $\mathbb{R}[x].$

SOLUCIÓN

4 Se considera el espacio vectorial real usual  $\mathbb{R}^n\;(n\geq{2})$ . Analizar en cada caso si los siguientes subconjuntos de  $\mathbb{R}^n$  son o no subespacios.

$1)\;\;F_1=\left\{(x_1,\ldots,x_n)\in{\mathbb{R}}^n:\;x_1x_2=0\right\}.\\2)\;\; F_2=\left\{{(x_1,\ldots ,x_n)\in{\mathbb{R}}^n:\;x_1+\ldots+x_n=1}\right\}.\\3)\;\; F_3=\left\{{(x_1,\ldots ,x_n)\in{\mathbb{R}}^n:\; x_1+\ldots+x_n=0}\right\}.\\4) \;\;F_4=\left\{{(x_1,\ldots, x_n)\in{\mathbb{R}}^n:\;x_1\in{\mathbb{Z}}}\right\}.$

SOLUCIÓN

5 Sea  $E=\mathbb{K}^{n\times{n}}$  el espacio vectorial usual de las matrices cuadradas de ordenes  $n\times{n}$  y con elementos en el cuerpo  $\mathbb{K}$. Sea el subconjunto de  $E$  dado por  $F=\left\{A\in\mathbb{K}^{n\times{n}}:\;A^t=A\right\}$, es decir el subconjunto de  $E$  formado por las matrices simétricas. Demostrar que  $F$ es subespacio de  $E.$

SOLUCIÓN

6 Sea  $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$  el espacio vectorial real usual de las funciones  $f$  de  $\mathbb{R}$  en  $\mathbb{R}$.  Se considera el subconjunto de  $E$ : $F=\{f\in E : f(-x)=f(x)\;\;\forall x\in \mathbb{R}\}$ es decir, el subconjunto de las funciones pares. Demostrar que  $F$  es subespacio de $E$.

SOLUCIÓN

7 Estudiar si $G=\{p\in\mathbb{R}[x]:p’(x)=0\}$ es subespacio de $\mathbb{R}[x].$

SOLUCIÓN

8 Averiguar si $F=\{A\in\mathbb{R}^{2\times 2}:A^2=0\}$ es subespacio de $\mathbb{R}^{2\times 2}.$

SOLUCIÓN

9  Sea  $E$  espacio vectorial sobre el cuerpo  $\mathbb{K}$ y sea  $F\subset{E}$. Demostrar que $F$  es subespacio vectorial de  $E,$  si y sólo si se cumplen las tres siguientes condiciones:
$(i)\;0\in{F}.$
$(ii)$ Para todo  $x\in{F}$  y para todo  $y\in{F}$  se  verifica  $x+y\in{F}.$
$(iii)$ Para todo  $\lambda\in{\mathbb{K}}$   y  para todo  $x\in{F}$  se verifica  $\lambda x\in{F}.$

SOLUCIÓN
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