Sistema autónomo con paso a cilíndricas

Enunciado
Resolver el sistema diferencial autónomo

$\left \{ \begin{matrix}x’_1=-x_2x_3\\x’_2=x_1x_3\\x’_3=x_1^2+x_2^2.\end{matrix}\right.$

Indicación: pasar a coordenadas cilíndricas.

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
De las relaciones $\rho^2=x_1^2+x_2^2,\; \theta=\arctan (x_2/x_1),\;x_3=x_3$ deducimos

$\left \{ \begin{matrix}2\rho\rho’=2x_1x_1’+2x_2x’_2\\\theta’=\dfrac{1}{1+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}}\dfrac{x’_2x_1-x’_1x_2}{x_1^2}\\x’_3=x’_3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}\rho\rho’=x_1x_1’+x_2x’_2\\\theta’=\dfrac{x’_2x_1-x’_1x_2}{\rho^2}\\x’_3=x’_3.\end{matrix}\right.$

Sustituyendo las igualdades del sistema en estas últimas relaciones:

$\left \{ \begin{matrix}\rho\rho’=x_1(-x_2x_3)+x_2(x_1x_3)=0\\\theta’=\dfrac{x_1^2x_3+x_2^2x_3}{\rho^2}=\dfrac{x_3\rho^2}{\rho^2}=x_3\\x’_3=\rho^2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}\rho’=0\\\theta’=x_3\\x’_3=\rho^2.\end{matrix}\right.$

De $\rho’=0$ deducimos que $\rho=C_1$ con $C_1\geq 0$, de $x’_3=\rho^2=C_1^2$ que $x_3=C_1^2t+C_2$ y de $\theta’=x_3=C_1^2t+C_2$ que $\theta=C_1^2(t^2/2)+C_2t+C_3$. La solución general del sistema es por tanto:

$\left \{ \begin{matrix}\rho=C_1\\ \theta=\dfrac{C_1t^2}{2}+C_2t+C_3 \\x_3=C_1^2t+C_2\end{matrix}\right.\quad (C_1\in \mathbb{R}^+,C_2,C_3\in\mathbb{R}).$