El espacio vectorial de las aplicaciones lineales

Estudiamos el espacio vectorial de las aplicaciones lineales.

TEORÍA

1 Sean las aplicaciones lineales $f,g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ cuyas matrices respecto de unas bases dadas son respectivamente:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{3}&{-1}\\{1}&{1}&{0}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{0}&{-4}&{-1}\\{2}&{2}&{3}\end{bmatrix}.$$ Hallar la matriz de $2f-3g$ respecto de las bases dadas.

SOLUCIÓN

2  Demostrar que  $\left(\mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F),+\right)$ es grupo abeliano, estando definida la operación $+$ en la forma: $$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in E.$$

SOLUCIÓN

3  Demostrar que para todo $\alpha\in \mathbb{K},\;f\in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F),$ la operación $\alpha f$ definida mediante$$(\alpha f)(x)=\alpha f(x)\quad \forall x\in E$$ cumple las cuatro propiedades de la ley externa de los espacios vectoriales.

SOLUCIÓN

4  Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ de dimensiones respectivas $m$ y $n$ (finitas) y sean $B_E$ y $B_F$ bases de $E$ y $F$ respectivamente. Demostrar que: $$\phi:\mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F)\to\mathbb{K}^{n\times m},\quad\phi(f)=[f]_{B_E}^{B_F}$$es un isomorfismo de espacios vectoriales.

SOLUCIÓN

5  Demostrar que si $E$ y $F$ son espacios vectoriales, ambos de dimensión finita, se verifica $\dim \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F)=\left(\dim E\right)\left(\dim F\right).$

SOLUCIÓN
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