Subespacio ortogonal al de las matrices diagonales

Calculamos la dimensión y una base del subespacio ortogonal al de las matrices diagonales con el producto escalar $\langle A,B\rangle=\text{tr }AB^t.$

Enunciado
Sea $E$ el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden $n$ y entradas reales. Se considera el producto escalar $$\langle A,B\rangle=\text{tr }AB^t,\quad \forall A.B\in E.$$ Sea $W$ el subespacio de $E$ formado por las matrices diagonales. Determinar $W^{\perp},$ y hallar su dimensión.

Solución
Sea $X\in E.$ Para que $X$ pertenezca a $W^{\perp}$ es necesario y suficiente que $X$ sea ortogonal a los elementos de una base de $W.$ Elijamos $B=\{D_1,D_2,\ldots,D_n\}$ como base de $W$ siendo:$$D_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix}\;,\;D_2=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix}\;,\;\ldots\;,\;D_n=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 1\end{bmatrix}$$ Sea la matriz genérica de $E:$ $$X=\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{1n}\\ x_{21} &x_{22} & \ldots & x_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ x_{n1} & x_{n2} &\ldots & x_{nn}\end{bmatrix}\;.$$ Entonces $$\langle D_1,X \rangle=\text{tr }D_1X^t=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & 0\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix} x_{11} & x_{21} & \ldots & x_{n1}\\ x_{12} &x_{22} & \ldots & x_{n2} \\ \vdots&&&\vdots \\ x_{1n} & x_{2n} &\ldots & x_{nn}\end{bmatrix}\\=\text{tr }\begin{bmatrix} x_{11} &  & \ldots & \\  & 0 & \ldots &  \\ \vdots&&&\vdots \\  &  &\ldots & 0\end{bmatrix}=x_{11}.$$ De manera análoga: $$\langle D_2,X \rangle=x_{22}\;,\;\ldots\;,\; \langle D_n,X \rangle=x_{nn}$$ Entonces, $$X\in W^{\perp}\Leftrightarrow\left \{ \begin{matrix} \langle D_1,X \rangle=0 \\ \langle D_2,X \rangle=0\\\ldots\\\langle D_n,X \rangle=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{matrix} x_{11}=0 \\ x_{22}=0\\\ldots\\x_{nn}=0.\end{matrix}\right.$$  El subespacio ortogonal a $W$ es por tanto: $$W^{\perp}=\{\begin{bmatrix} 0 & x_{12} & \ldots & x_{1n}\\ x_{21} & 0 & \ldots & x_{2n} \\ \vdots&&&\vdots \\ x_{n1} & x_{n2} &\ldots & 0\end{bmatrix}:x_{ij}\in\mathbb{R}\},$$ y dado que $E=W\oplus W^{\perp},$ se verifica $$\dim W^{\perp}=\dim E-\dim W=n^2-n=n(n-1).$$

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