Un sistema en diferencias finitas

Proporcionamos un ejemplo de resolución de un sistema en diferencias finitas.

Enunciado
Resolver el sistema de ecuaciones en diferencias finitas

$\left \{ \begin{matrix}x(m+1)=x(m)-2y(m)\\ y(m+1)=2x(m)-y(m)\end{matrix}\right.$

con la condición inicial $x(0)=1,\;y(0)=0.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Denotando $X_{m}=(x(m),y(m))^t$ podemos expresar

$X_{m+1}=AX_m\mbox{ con }A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}\\{2}&{-1}\end{bmatrix}\;.$

En consecuencia

$X_m=AX_{m-1}=A^2X_{m-2}=A^3X_{m-3}=\ldots=A^mX_0.$

El polinomio característico de $A$ es $\lambda^2+3$. Hallaremos la potencia emésima de $A$ usando el teorema de Cayley-Hamilton. Efectuando la división euclídea de $\lambda^m$ entre $\lambda^2+3:$

$\lambda^m=q(\lambda)(\lambda^2+3)+\alpha \lambda+\beta\;,\;\;(\alpha,\beta\in\mathbb{R}).\qquad (1)$

Sustituyendo $\lambda$ por $A$ obtenemos $A^m=c(A)\cdot 0+\alpha A+\beta I=\alpha A+\beta I$. Para hallar $\alpha$ y $\beta$ sustituimos una raíz del polinomio característico (por ejemplo $\sqrt{3}i$) en $(1)$ e igualamos partes real e imaginaria. Hallamos previamente $(\sqrt{3}i)^m$ según que $m$ sea par o impar:

$\left \{ \begin{matrix}(\sqrt{3}i)^{2k}=(\sqrt{3})^{2k}(i)^{2k}=(-1)^k3^k\\(\sqrt{3}i)^{2k+1}= (\sqrt{3}i)^{2k}\sqrt{3}i=(-1)^k3^k\sqrt{3}i.\end{matrix}\right.$

Sustituyendo pues $\lambda=\sqrt{3}i$ en $(1)$

$\left \{ \begin{matrix}m=2k\Rightarrow (-1)^k3^k=\sqrt{3}i\alpha +\beta \Rightarrow \alpha=0,\;\beta=(-1)^k3^k\\ m=2k+1\Rightarrow (-1)^k3^k\sqrt{3}i=\sqrt{3}i\alpha +\beta \Rightarrow \alpha=(-1)^k3^k,\;\beta=0 .\end{matrix}\right.$

Podemos por tanto expresar

$\begin{bmatrix}{x(2k)}\\{y(2k)}\end{bmatrix}=(-1)^k3^kI\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{(-1)^k3^k}\\{0}\end{bmatrix},$

$\begin{bmatrix}{x(2k+1)}\\{y(2k+1)}\end{bmatrix}=(-1)^k3^kA\begin{bmatrix}{1}\\{0}\end{bmatrix}=(-1)^k3^k\begin{bmatrix}{1}\\{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{(-1)^k3^k}\\{(-1)^k2\cdot 3^k}\end{bmatrix}.$

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