Suma e intersección de subespacios

Proporcionamos ejercicios sobre la suma e intersección de subespacios.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que la intersección de dos subespacios de un espacio vectorial $E,$ es también subespacio de $E.$
  2. Sea $\left\{F_i:i\in I\right\}$ una familia de subespacios de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $\bigcap _{i\in I}F_i$ es también subespacio de $E.$
  3. Sean $F_1$ y $F_2,$ subespacios de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$F_1+F_2=\{x\in E:\exists u\in F_1\:\exists v\in F_2\text{ con }x=u+v\}$$ es subespacio de $E$ (subespacio suma de $F_1$ y $F_2$).
  4. Sean $F_1,\ldots,F_m,$ subespacios de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$F_1+\ldots+F_m=\{x\in E:\exists u_1\in F_1\ldots \exists u_m\in F_m\text{ con }x=u_1+\ldots +u_m\}$$ es subespacio de $E$ (subespacio suma de $F_1,\ldots,F_m$)
  5. Demostrar que la unión de subespacios vectoriales, no es en general subespacio vectorial.
  6. Demostrar que la suma de dos subespacios vectoriales es el menor de todos los subespacios que contienen a la unión.
  7. Sean $F_1,F_2,F_3$ subespacios de un espacio vectorial $E$ tales que: $$ F_1+F_3=F_2+F_3,\quad F_1\cap F_3=F_2\cap F_3,\quad F_1\subset F_2.$$ Demostrar que $F_1=F_2.$
    Solución
  1. Sean $F_1$ y $F_2,$ subespacios de $E.$ Veamos que $F_1\cap F_2$ también lo es.
    $(i)$ Como $F_1$ y $F_2$ son subespacios de $E,$ el vector $0$ pertenece a ambos, luego $0\in F_1\cap F_2.$
    $(ii)$ Si $x,y\in F_1\cap F_2,$ entonces $x\in F_1,$ $x\in F_2,$ $y\in F_1,$ e $y\in F_2.$ Por ser $F_1$ y $F_2$ subespacios, se verifica $x+y\in F_1$ y $x+y\in F_2,$ es decir $x+y\in F_1\cap F_2.$
    $(iii)$ Si $\lambda$ es escalar y $x\in F_1\cap F_2,$ entonces $x\in F_1$ y $x\in F_2.$ Por ser $F_1$ y $F_2$ subespacios, se verifica $\lambda x\in F_1$ y $\lambda x\in F_2,$ es decir $\lambda x\in F_1\cap F_2.$
  2. $(i)$ Para todo $i\in I,$ $F_i$ es subespacio de $E,$ luego $0\in F_i$ para todo $i\in I.$ Esto implica que $0\in\bigcap _{i\in I}F_i.$

    $(ii)$ Si $x,y\in \bigcap _{i\in I}F_i,$ entonces $x\in F_i,$ e $y\in F_i,$ para todo $i\in I.$ Por ser $F_i$ subespacio para todo $i\in I,$ se verifica $x+y\in F_i$ para todo $i\in I,$ es decir $x+y\in \bigcap _{i\in I}F_i.$

    $(iii)$ Si $\lambda$ es escalar y $x\in \bigcap _{i\in I}F_i,$ entonces $x\in F_i$ para todo $i\in I.$ Por ser $F_i$ subespacio para todo $i\in I,$ se verifica $\lambda x\in F_i,$ para todo $i\in I,$ es decir $\lambda x\in \bigcap _{i\in I}F_i.$

  3. $(i)$ El vector $0$ pertenece a $F_1$ y $F_2$ por ser estos subespacios, y además $0=0+0,$ luego $0\in F_1+F_2.$
    $(ii)$ Si $x,x’\in F_1+F_2,$ entonces $x=u+v,$ $x’=u’+v’$ con $u,u’\in F_1$ y $v,v’\in F_2.$ Entonces, $x+x’=(u+u’)+(v+v’).$ Como $F_1$ y $F_2$ son subespacios, $u+u’\in F_1$ y $v+v’\in F_2,$ por tanto $x+x’\in F_1+F_2$
    $(iii)$ Si $\lambda$ es escalar y $x\in F_1+F_2,$ entonces $x=u+v$ con $u\in F_1$ y $v\in F_2.$ Entonces, $\lambda x=\lambda u+\lambda v.$ Como $F_1$ y $F_2$ son subespacios, $\lambda u\in F_1$ y $\lambda v\in F_2,$ por tanto $\lambda x\in F_1+F_2.$
  4. $(i)$ El vector $0$ pertenece a $F_1,\ldots,F_m$ por ser estos, subespacios, y además $0=0+\ldots +0,$ luego $0\in F_1+\ldots+F_m.$
    $(ii)$ Si $x,x’\in F_1+\ldots+F_m,$ entonces $x=u_1+\ldots+u_n,$ $x’=u_1′+\ldots+u’_m$ con $u_i,u’_i\in F_i$ para todo $i=1,\ldots,m.$ Se verifica:$$x+x’=(u_1+u’_1)+\ldots +(u_m+u’_m),$$ y como los $F_i$ son subespacios, $u_i+u’_i\in F_i$ para todo $i,$ por tanto $x+x’\in F_1+\ldots +F_m$
    $(iii)$ Si $\lambda$ es escalar y $x\in F_1+\ldots+F_m,$ entonces $x=u_1+\ldots +u_m$ con $u_i\in F_i$ para todo $i.$ Se verifica $\lambda x=\lambda u_1+\ldots+\lambda u_m$ y como los $F_i$ son subespacios, $\lambda u_i\in F_i$ para todo $i,$ por tanto $\lambda x\in F_1+\ldots+F_m.$
  5. Elijamos los subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ dados por $F_1=\{(\alpha,0):\alpha\in\mathbb{R}\}$ y $F_1=\{(0,\beta):\beta\in\mathbb{R}\}.$ Es inmediato comprobar que ambos son subespacios de $\mathbb{R}^2.$
    El vector $x=(1,0)$ pertenece a $F_1$ y el $y=(0,1),$ a $F_2,$ luego ambos pertenecen a $F_1\cup F_2.$ Sin embargo $x+y=(1,1)\notin F_1\cup F_2,$ es decir $F_1\cup F_2$ no es subespacio de $\mathbb{R}^2.$
  6. Sean $F_1,F_2$ subespacios vectoriales del espacio vectorial $E.$ Si $x\in F_1\cup F_2,$ o bien $x\in F_1,$ o bien $x\in F_2.$ Si $x\in F_1,$ entonces $x=x+0\in F_1+F_2,$ y si $x\in F_2,$ entonces $x=0+x\in F_1+F_2.$ Hemos demostrado que $F_1\cup F_2\subset F_1+F_2.$
    Vamos ahora que $F_1+F_2,$ es el menor de entre todos los subespacios de $E$ que contienen a $F_1\cup F_2.$ En efecto, sea $F$ subespacio de $E$ con $F_1\cup F_2\subset F.$
    Si $x\in F_1+F_2,$ entonces $x=u+v$ con $u\in F_1$ y $v\in F_2,$ luego $u$ y $v$ están en $F_1\cup F_2$ y por tanto en $F.$ Como $F$ es subespacio, necesariamente $x=u+v\in F.$ En consecuencia, $F_1+F_2\subset F,$ lo cual concluye la demostración.
  7. Sea $u\in F_2.$ Entonces, $u\in F_2+F_3=F_1+F_3,$ luego existen $u_1\in F_1$ y $u_3\in F_3$ tales que $u=u_1+u_3.$ De la hipótesis $F_1\subset F_2,$ deducimos que $u_1\in F_2$ y al ser $u_3=u+(-u_1)$ con $u\in F_2$ y $-u_1\in F_2,$ también $u_3\in F_2.$
    Es decir, $u_3\in F_2\cap F_3=F_1\cap F_3,$ luego $u_3\in F_1.$ Tenemos por tanto que $u=u_1+u_3$ es la suma de dos vectores del subespacio $F_1,$ lo cual implica que $u\in F_1.$ Hemos demostrado que $F_2\subset F_1,$ que junto con la hipótesis $F_1\subset F_2,$ implica $F_1=F_2.$
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