Suma e intersección de subespacios

Proporcionamos ejercicios sobre la suma e intersección de subespacios.

TEORÍA

1  Demostrar que la intersección de dos subespacios de un espacio vectorial $E,$ es también subespacio de $E.$

SOLUCIÓN

2  Sea $\left\{F_i:i\in I\right\}$ una familia de subespacios de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $\bigcap _{i\in I}F_i$ es también subespacio de $E.$

SOLUCIÓN

3  Sean $F_1$ y $F_2,$ subespacios de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$F_1+F_2=\{x\in E:\exists u\in F_1\:\exists v\in F_2\text{ con }x=u+v\}$$ es subespacio de $E$ (subespacio suma de $F_1$ y $F_2$).

SOLUCIÓN

4  Sean $F_1,\ldots,F_m,$ subespacios de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$F_1+\ldots+F_m=\{x\in E:\exists u_1\in F_1\ldots \exists u_m\in F_m\text{ con }x=u_1+\ldots +u_m\}$$ es subespacio de $E$ (subespacio suma de $F_1,\ldots,F_m$).

SOLUCIÓN

5 Demostrar que la unión de subespacios vectoriales, no es en general subespacio vectorial.

SOLUCIÓN

6  Demostrar que la suma de dos subespacios vectoriales es el menor de todos los subespacios que contienen a la unión.

SOLUCIÓN

7 Sean $F_1,F_2,F_3$ subespacios de un espacio vectorial $E$ tales que: $$ F_1+F_3=F_2+F_3,\quad F_1\cap F_3=F_2\cap F_3,\quad F_1\subset F_2.$$Demostrar que $F_1=F_2.$

SOLUCIÓN
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