Valor propio y asíntota horizontal

Relacionamos los conceptos de valor propio y asíntota horizontal.

    Enunciado
    Se considera el espacio vectorial $$E=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:f\mbox { continua y }\lim_{x \to{+}\infty} f(x)\in\mathbb{R}\},$$ es decir la grafica de $f$ tiene una asíntota horizontal para $x\to +\infty.$ Se define la aplicación $T:E\to E$ de la forma $T(f)(x)=f(x+1).$
  1. Demostrar que $T$ es lineal.
  2. Demostrar que $\lambda=1$ es valor propio de $T.$
  3. Demostrar que el subespacio propio asociado a $\lambda=1$ está formado exactamente por las funciones constantes.
    Solución
  1. Para todo par de escalares $\alpha,\beta\in\mathbb{R},$ para cada par de funciones $f,g\in E$ y aplicando las conocidas definiciones de operaciones entre funciones, se verifica para todo $x\in\mathbb{R}:$ $$\displaystyle\begin{aligned}
    T(\alpha f+\beta g)(x)&=(\alpha f+\beta g)(x+1)\\
    &=(\alpha f)(x+1)+(\beta g)(x+1)\\
    &=\alpha f(x+1)+\beta g(x+1)\\
    &=\alpha T(f)(x)+\beta T(g)(x)\\
    &=\left(\alpha T(f)+\beta T(g)\right)(x).
    \end{aligned}$$ De la definición de igualdad de funciones deducimos que $T(\alpha f+\beta g)=\alpha T(f)+\beta T(g),$ es decir $T$ es lineal.
  2. La función $h(x)=1$ es continua, $\lim_{x \to{+}\infty} h(x)=1\in\mathbb{R},$ es decir $h\in E$ y además es no nula. Tenemos: $$T(h)(x)=h(x+1)=1=h(x)\quad (\forall x\in \mathbb{R})\Rightarrow T(h)=h=1h\;\;(h\neq 0),$$ por tanto, $\lambda=1$ es valor propio de $T.$
  3. Sea $f$ función constante, es decir $f(x)=c\in\mathbb{R}$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Razonando como en el apartado anterior: $$T(f)(x)=f(x+1)=c=f(x)\quad (\forall x\in \mathbb{R})\Rightarrow T(f)=f=1f$$ lo cual implica que $f$ pertenece al subespacio propio $V_1$ asociado a $\lambda=1.$ Recíprocamente, sea $f\in V_1,$ entonces $Tf=f$ o equivalentemente $f(x+1)=f(x)$ para todo $x\in\mathbb{R},$ es decir, la función es periódica de periodo $1$ y por tanto $f(x+n)=f(x)$ para todo $n$ natural. Si $f$ no fuera constante existirían números reales $x_1,x_2$ con $x_1\neq x_2$ tales que $f(x_1)\neq f(x_2).$ Entonces: $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x_1+n)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x_1)}=f(x_1),\\\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x_2+n)}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x_2)}=f(x_2).$$ Esto implicaría que no existe $\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}$ lo cual es absurdo. Concluimos que $V_1$ está formado exactamente por las funciones constantes.
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