Máximo común divisor en los enteros de Gauss

Demostramos que el anillo de los enteros de Gauss es euclídeo y hallamos un máximo común divisor.

Enunciado
Sea $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi:a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{Z}\}$ con las operaciones usuales de suma y producto de complejos. Se pide:
1. Demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo conmutativo y unitario. (Se llama anillo de los enteros de Gauss).
2. Hallar todos los elementos invertibles de $\mathbb{Z}[i]$
3. Se define para $z\in\mathbb{Z}[i]$ la aplicación $\varphi(z)=|z|^2$. Probar que $(\mathbb{Z}[i],\varphi)$ es un anillo euclídeo.
4. Hallar el máximo común divisor de $16+7i$ y $10-5i$ (Utilizar el algoritmo de Euclides).

Solución
1. Como $\mathbb{Z}[i]\subset \mathbb{C}$ y $(\mathbb{C},+,\cdot)$ es anillo con las operaciones usuales $+$ y $\cdot$, bastará demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es subanillo de $\mathbb{C}$. Usamos el conocido teorema de caracterización de subanillos:
   (i) $\mathbb{Z}[i]\neq \emptyset$. Esto es evidente, pues por ejemplo $0+0i\in\mathbb{Z}[i]$.
   (ii) Para cada par de elementos $a+bi$ y $c+di$ de $\mathbb{Z}[i]:$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$ Dado que $a,b,c,d$ son enteros, también lo son $a-c$ y $b-d$ lo cual implica que la diferencia anterior pertenece a $\mathbb{Z}[i]$.
   (iii) Para cada par de elementos $a+bi$ y $c+di$ de $\mathbb{Z}[i]:$ $$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$ Como $a,b,c,d$ son enteros, también lo son $ac-bd$ y $ad+bc$ lo cual implica que el producto anterior pertenece a $\mathbb{Z}[i]$. Hemos demostrado pues que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo con las operaciones usuales suma y producto de complejos. Dado que $\mathbb{C}$ es conmutativo, también lo es $\mathbb{Z}[i]$. Por otra parte $1=1+0i\in\mathbb{Z}[i]$. Concluimos que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo conmutativo y unitario.
2. Un elemento $a+bi\in \mathbb{Z}[i]$ no nulo es invertible si y sólo si existe un $a’+b’i\in \mathbb{Z}[i]$ no nulo tal que $(a+bi)(a’+b’i)=1$. Tomando módulos al cuadrado, obtenemos $(a^2+b^2)(a’^2+b’^2)=1$. Como los dos factores anteriores son enteros positivos, ha de ser necesariamente $a^2+b^2=1$ o equivalentemente $a=\pm 1\;\wedge\; b=0$ o $a=0\;\wedge\;b=\pm 1$. Es decir, los únicos posibles elementos invertibles de $\mathbb{Z}[i]$ son $1,-1,i,-i$. Pero estos elementos son efectivamente invertibles al cumplirse $1\cdot 1=1$, $(-1)\cdot (-1)=1$, $i\cdot (-i)=1$ y $(-i)\cdot i=1.$
3. El anillo $(\mathbb{C},+,\cdot)$ es dominio de integridad, en consecuencia también lo es $\mathbb{Z}[i]$. Veamos que la aplicación $\varphi : \mathbb{Z}[i]-\{0\}\to \mathbb{N},\;\varphi (z)=\left|z\right|^2$ cumple las condiciones para que $(\mathbb{Z}[i],\varphi)$ sea anillo euclídeo.
   (i) Sean $z,w\in \mathbb{Z}[i]-\{0\}$ tales que $z|w$, entonces, existe $z_1\in \mathbb{Z}[i]-\{0\}$ tal que $w=zz_1$. Por tanto $$\varphi (z)=\left|z\right|^2\leq \left|z\right|^2\left|z_1\right|^2=\left|w\right|^2=\varphi (w)\Rightarrow \varphi (z)\leq \varphi (w) $$ (ii) Sean $x,y\in\mathbb{Z}[i]$ con $y\neq 0$, entonces $x/y=u+iv$ con $u,v\in \mathbb{Q}$. Si $u$ y $v$ son enteros, $y|x$ y estamos en el caso (i). Supongamos pues que $u,v$ no son ambos enteros. Elijamos $m,n\in\mathbb{Z}$ tales que $\left|m-u\right|\leq 1/2$ y $\left|n-v\right|\leq 1/2$ y llamemos $c=m+ni$ y $r=x-cy$. Entonces: $$\displaystyle\begin{aligned} r&=y(u+iv)-y(m+ni)\\ &=y[(u-m)+(v-n)i]\\ &\Rightarrow \varphi (r)=\left|y\right|^2[(u-m)^2+(v-n)^2]\\ & \leq \left|y\right|^2(1/4+1/4)\\ &=\left|y\right|^2/2<\left|y\right|^2 =\varphi (y) \end{aligned}$$ Es decir, dados $x,y\in\mathbb{Z}[i]$ con $y\neq 0$ existen $c,r\in \mathbb{Z}[i]$ tales que $x=cy+r$ con $\varphi(r)<\varphi (y)$. Concluimos que $(\mathbb{Z}[i],\varphi)$ es un anillo euclídeo.
4. Efectuemos la división euclídea de $16+7i$ entre $10-5i:$ $$\dfrac{16+7i}{10-5i}=\dfrac{(16+7i)(10+5i)}{(10-5i)(10+5i)}=\dfrac{125+150i}{125}=1+\dfrac{6}{5}i$$ Entonces, $c=m+ni=1+i$ y $r=16+7i-(1+i)(10-5i)=1+2i$. Por tanto $$\mbox{mcd }\{16+7i,10-5i\}=\mbox{mcd }\{10-5i, 1+2i\}$$ Efectuemos la división euclídea de $10-5i$ entre $1+2i:$ $$\dfrac{10-5i}{1+2i}=\dfrac{(10-5i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\dfrac{20-25i}{5}=4-5i$$ El resto es $r=0$ y por tanto: $$\mbox{mcd }\{10-5i,1+2i\}=\mbox{mcd }\{1+2i, 0\}=1+2i$$ Es decir, $\mbox{mcd }\{16+7i,10-5i\}=1+2i$. En forma de algoritmo de Euclides sería:
   $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{}&1+i&4-5i\\\hline {}16+7i&10-5i&1+2i&0\\\hline {}1+2i&0 \end{array}$$