Caracterización de la suma directa de subespacios

Demostramos el teorema de caracterización de la suma directa de varios subespacios.

Enunciado
Demostrar que las tres siguientes afirmaciones son equivalentes
$(a)$ $E=F_1\oplus F_2 \oplus \ldots \oplus F_m.$
$(b)$  $E=F_1+F_2 + \ldots + F_m$ y la descomposición de todo vector $x\in E$ en la forma $x=v_1+v_2+\ldots+v_m$ con $v_i\in F_i$ para todo $i=1,\ldots,m$ es única.
$(c)$ $E=F_1+ F_2 + \ldots + F_m$ y la igualdad $v_1+v_2+\ldots+v_m=0$ con $v_i\in F_i$ para todo $i=1,\ldots ,m$ implica $v_i=0$ para todo $i=1,\ldots ,m.$

Solución.  Recordamos que si $E$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $F_1,F_2,\ldots,F_m$ son subespacios de $E$, se dice que $E$ es suma directa  de estos subespacios, si y sólo si se verifica
(i) $E=F_1+F_2+\ldots +F_m.$
(ii) Para todo $i=1,2,\ldots,m$ se verifica $F_i\bigcap\left(\sum_{j\neq i}F_j\right)=\{0\}$ o dicho de otra forma, la intersección de cada subespacio con la suma de los demás ha de ser el vector nulo.

$(a)\Rightarrow (b).$ Sea $v\in E$. Como $E=F_1+F_2+\ldots +F_m$, podemos expresar $v=v_1+\ldots v_m$ con $v_1\in F_1,\ldots,v_m\in F_m.$ Supongamos que $v=v’_1+\ldots +v’_m$ con $v’_1\in F_1$, …, $v’_m\in F_m.$ Entonces $v_1-v’_1=(v’_2-v_2)+\ldots +(v’_m-v_m).$ Ahora bien, $$v_1-v’_1\in F_1\text{ y }(v’_2-v_2)+\ldots +(v’_m-v_m)\in F_2+\ldots +F_m.$$

Como $F_1\cap (F_2+\ldots +F_m)=\{0\}$ se deduce $v_1-v’_1=0$, o sea $v_1=v’_1.$ Cambiando los índices. concluimos de forma análoga que $v_2=v’_2\;,\ldots,v_m=v’_m.$ Queda demostrado $(b).$

$(b)\Rightarrow{(c)}.$ Por hipótesis se verifica $E=F_1+F_2+\ldots+F_m.$ Sean ahora $v_1\in F_1$, … ,$v_m\in F_m$ tales que $v_1+\ldots +v_m=0.$ La igualdad $v_1+\ldots +v_m=0+\ldots +0$ y la hipótesis de unicidad en $(b)$ implican que $v_1=0$ , … , $v_m=0.$ Queda probado $(c).$

$(c)\Rightarrow (a).$ Sea $w\in F_1\cap (F_2+\ldots +F_m).$ Como $w\in F_2+\ldots +F_m$ podemos expresar $w=v_2+\ldots +v_m$ con $v_2\in F_2,\;\ldots ,v_m\in F_m.$ Entonces $(-w)+v_2+\ldots +v_m=0$ con $-w\in F_1\;,v_2\in F_2\;,\ldots v_m\in F_m.$

La hipótesis hecha en $(c)$ implica $-w=0$ lo cual demuestra que $$F_1\cap (F_2+\ldots +F_m)=\{0\}.$$ Cambiando los índices se demuestra de forma análoga que $F_i\bigcap\left(\sum_{j\neq i}F_j\right)=\{0\}$ para todo $i.$

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