Suma directa de subespacios

Proponemos ejercicios de suma directa de subespacios.

TEORÍA

1 Se consideran los subespacios de $\mathbb{R}^2$ dados por $F_1=\{(\alpha,0):\alpha\in\mathbb{R}\}$ y $F_2=\{(0,\beta):\beta\in\mathbb{R}\}.$ Demostrar que $\mathbb{R}^2=F_1\oplus F_2.$

SOLUCIÓN

2 Sea $\mathbb{K}^{n\times n}$ el espacio vectorial real usual de las matrices cuadradas de orden $n$ sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Sean $\mathcal{S}$ y $\mathcal{A}$ los subespacios de $\mathbb{K}^{n\times n}$ formados por las matrices simétricas y antisimétricas respectivamente. Demostrar que si $\operatorname{carac}(\mathbb{K})\neq 2,$ entonces $\mathbb{K}^{n\times n}=\mathcal{S}\oplus \mathcal{A}.$

3 Sea $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ el espacio vectorial real usual de las funciones $f$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y sean los subespacios de $E$: $$\mathcal{P}=\{f\in E : f(-x)=f(x)\;\;\forall x\in \mathbb{R}\}$$ formado por las funciones pares e $$\mathcal{I}=\{f\in E : f(-x)=-f(x)\;\;\forall x\in \mathbb{R}\}$$ formado por las funciones impares. Demostrar que $E=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$.

4  Demostrar que las tres siguientes afirmaciones son equivalentes
$(a)$ $E=F_1\oplus F_2 \oplus \ldots \oplus F_m.$
$(b)$  $E=F_1+F_2 + \ldots + F_m$ y la descomposición de todo vector $x\in E$ en la forma $x=v_1+v_2+\ldots+v_m$ con $v_i\in F_i$ para todo $i=1,\ldots,m$ es única.
$(c)$ $E=F_1+ F_2 + \ldots + F_m$ y la igualdad $v_1+v_2+\ldots+v_m=0$ con $v_i\in F_i$ para todo $i=1,\ldots ,m$ implica $v_i=0$ para todo $i=1,\ldots ,m.$

5 Se consideran los subespacios de $\mathbb{R}^3$ dados por $F_1=\{(\alpha,0,0):\alpha\in\mathbb{R}\},$ $F_2=\{(0,\beta,0):\beta\in\mathbb{R}\}$ y $F_3=\{(0,0,\gamma):\gamma\in\mathbb{R}\}$ Demostrar que $\mathbb{R}^3=F_1\oplus F_2\oplus F_3.$

SOLUCIÓN

6 Sea $E$ el espacio vectorial real de las funciones reales definidas sobre $[0,1]$. Sean por otra parte los subespacios de $E$ $$\begin{aligned}& F_1=\{\;f\in E: f \text{ es nula fuera de }[0,1/3]\;\},\\
&F_2=\{\;f\in E: f \text{ es nula fuera de }(1/3,2/3)\;\},\\
&F_3=\{\;f\in E: f \textrm{ es nula fuera de }[2/3,1]\;\}.
\end{aligned}$$  Demostrar que $E=F_1\oplus{F_2}\oplus{F_3}.$

SOLUCIÓN

7 Sea  $E$  el espacio vectorial de las funciones reales y continuas en el intervalo cerrado  $[a,b].$  Se consideran los subconjuntos de  $ E $ dados por $$F=\{f\in E : \int_a^bf(t)\;dt=0\},\quad G=\{f\in E: f\text { es constante}\}.$$ $(a)$  Demostrar que  $F$  y  $G$  son subespacios de  $E$.
$(b)$  Demostrar que  $F$  y  $G$  son suplementarios en  $E$.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM).

SOLUCIÓN

8 Sea $V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ el espacio vectorial de las funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}.$ Se consideran los subespacios de $V:$ $$ U_1=\{f\in V:f(0)=f(1)=0\},\\
U_2=\{f\in V:f(x)=ax+b,\;a,b\in\mathbb{R}\}.$$ Demostrar que $U_1$ y $U_2$ son suplementarios.

SOLUCIÓN

9 Sea $p_1(x)\in\mathbb{R}[x]$ un polinomio de grado $\geq 1.$ Se consideran los subespacios vectoriales de $\mathbb{R}[x]:$ $$\begin{aligned}
&F_1=\{p(x)\in\mathbb{R}[x]:p(x)\text{ es múltiplo de }p_1(x)\},\\
&F_2=\{p(x)\in\mathbb{R}[x]:\operatorname{grado}p(x)<\operatorname{grado}p_1(x)\}.
\end{aligned}$$ Demostrar que $\mathbb{R}[x]=F_1\oplus F_2.$

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.