Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía

Demostramos un teorema de isomorfía, el teorema de la  descomposición canónica de una aplicación lineal y damos una ejemplo de aplicación.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que
    (1) $n:E\to E/\ker f,\; n(x)=x+\ker f$ es epimorfismo.
    (2) $g:E/\ker f\to \operatorname{Im}f,\;g(x+\ker f)=f(x)$ es isomorfismo.
    (3) $i:\operatorname{Im}f\to F,\;i(x)=x$ es monomorfismo.
    (4) El siguiente diagrama es conmutativo: $$\begin{matrix}E\xrightarrow{\;\;\;\;\;f\;\;\;\;\;}F\\n\downarrow{\;\;\;\;\;}\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow{} i\\E/\ker f\xrightarrow{\;\;g\;\;}\operatorname{Im}f\end{matrix}$$ es decir, $f=i\circ g\circ n.$
  2. Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^3$ cuya matriz respecto de la base canónica $B$ de $\mathbb{R}^4$ y la canónica $B’$ de $\mathbb{R}^3$ es $$A=\begin{bmatrix}{\;\;2}&{-1}&{1}&{\;\;0}\\{\;\,1}&{-1}&{2}&{-1}\\{-1}&{-1}&{4}&{-3}\end{bmatrix}.$$ (a) Hallar unas bases $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ de $E/\ker f$ e $\textrm{Im}f$ respectivamente.
    (b) Hallar la matriz $N$ de $n$ respecto de las bases $B$ y $\mathcal{C}$.
    (c) Hallar la matriz $\bar{A}$ de $\bar{f}$ respecto de las bases $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$.
    (d) Hallar la matriz $I_1$ de $i$ respecto de las bases $ \mathcal{D} $ y $B’$.
    (e) Comprobar que $A=I_1\bar{A}N$ . ¿Por qué ha de cumplirse necesariamente esta igualdad?
    Solución
  1. (1) Para todo $\lambda,\mu$ escalares y para todo $x,y$ elementos de $E:$ $$n(\lambda x+\mu y)=(\lambda x+\mu y)+\ker f=(\lambda x+\ker f)+(\mu y+\ker f)$$ $$=\lambda (x+\ker f)+\mu (y+\ker f)=\lambda n(x)+\mu n(y),$$ es decir $n$ es lineal. Por otra parte, todo vector $x+\ker f\in E/\ker f$ es $x+\ker f=n(x),$ luego $n$ es sobreyectiva. Concluimos que $n$ es epimorfismo.
    (2) Veamos que la aplicación $g$ está bien definida, es decir que $g(x+\ker f)$ no depende del representante $x$ sino de la clase en sí. En efecto, supongamos que $x+\ker f=y+\ker f,$ entonces $x-y\in \ker f$ que equivale a $f(x-y)=0,$ luego $f(x)-f(y)=0$ y por tanto $f(x)=f(y).$
    Veamos que $g$ es lineal. Para todo $\lambda,\mu $ escalares y para todo $x+\ker f,$ $y+\ker f$ elementos de $E/\ker f:$ $$g[\lambda (x+\ker f)+\mu(y+\ker f)]=g[(\lambda x+\mu y)+\ker f]=f(\lambda x+\mu y)$$ $$=\lambda f(x)+\mu f(y)=\lambda g(x+\ker f)+\mu g(y+\ker f).$$ Veamos que $g$ es monomorfismo. El núcleo de $g$ es: $$\ker g=\{x+\ker f\in E/\ker f:g(x+\ker f)=f(x)=0\}=\{\ker f\}=\{0+\ker f\},$$ es decir el núcleo de $g$ se reduce al vector nulo de $E/\ker f$ lo cual implica que $g$ es inyectiva.
    Veamos que $g$ es epimorfismo. En efecto, si $x’\in \operatorname{Im}f,$ entonces $x’=f(x)$ para algún $x\in E,$ luego $x’=g(x+\ker f).$ Esto implica que $g$ es sobreyectiva. Concluimos que $g$ es isomorfismo.
    (3) Para todo $x,y$ elementos de $\operatorname{Im}f,$ $i(x+y)=x+y=i(x)+i(y)$ es decir, $i$ es lineal. Ademas, $i(x)=i(y)$ implica $x=y,$ luego $i$ es inyectiva.
    (4) Para todo $x\in E,$ $(i\circ g\circ n)(x)=(i\circ g)(x+\ker f)=i(f(x))=f(x),$ por tanto, $i\circ g\circ n=f.$
  2. Ver Factorización canónica de una aplicación lineal.
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