Descomposición canónica de una aplicación lineal, teorema de isomorfía

Demostramos un teorema de isomorfía, el teorema de la  descomposición canónica de una aplicación lineal y damos una ejemplo de aplicación.

TEORÍA

1 Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que
1. $n:E\to E/\ker f,\; n(x)=x+\ker f$ es epimorfismo.
2. $g:E/\ker f\to \operatorname{Im}f,\;g(x+\ker f)=f(x)$ es isomorfismo.
3. $i:\operatorname{Im}f\to F,\;i(x)=x$ es monomorfismo.
4. El siguiente diagrama es conmutativo: $$\begin{matrix}E\xrightarrow{\;\;\;\;\;f\;\;\;\;\;}F\\n\downarrow{\;\;\;\;\;}\;\;\;\;\;\;\;\;\uparrow{} i\\E/\ker f\xrightarrow{\;\;g\;\;}\operatorname{Im}f\end{matrix}$$ es decir,  $f=i\circ g\circ n.$

SOLUCIÓN

2 Se considera la aplicación lineal  $f:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^3$ cuya matriz respecto de la base canónica $B$  de  $\mathbb{R}^4$ y la canónica $B’$ de $\mathbb{R}^3$ es $$A=\begin{bmatrix}{\;\;2}&{-1}&{1}&{\;\;0}\\{\;\,1}&{-1}&{2}&{-1}\\{-1}&{-1}&{4}&{-3}\end{bmatrix}.$$ (a) Hallar unas bases  $\mathcal{C}$ y  $\mathcal{D}$  de $E/\ker f$  e  $\textrm{Im}f$ respectivamente.
(b) Hallar la matriz  $N$ de  $n$ respecto de las bases  $B$  y  $\mathcal{C}$.
(c) Hallar la matriz  $\bar{A}$  de  $\bar{f}$  respecto de las bases $\mathcal{C}$  y  $\mathcal{D}$.
(d)  Hallar la matriz  $I_1$  de  $i$ respecto de las bases  $  \mathcal{D} $  y  $B’$.
(e)  Comprobar que  $A=I_1\bar{A}N$ . ¿Por qué ha de cumplirse necesariamente esta igualdad?

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