Hiperplanos

Estudiamos los hiperplanos de un espacio vectorial.

Solución
Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $n>1.$ Se dice que $H$ es un hiperplano de $V$ cuando $H$ es un subespacio vectorial de dimensión $n-1.$ Se pide:

(a) Determinar cuales de los subconjuntos $H_1,H_2,H_3,H_4$ del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ son subespacios, y cuales hiperplanos. Justificar las respuestas.

$$\begin{aligned}
&H_1=\{(x,x,x):x\in \mathbb{R}\},\\
&H_2=\{(x,x,y):x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R}\},\\
&H_3=\{(x,x,0):x\in \mathbb{R}\},\\
&H_4=\{(x,x,1):x\in \mathbb{R}\}.
\end{aligned}$$

(b) Sea $f:V\to \mathbb{R}$ una forma lineal no idénticamente nula. Demostrar que entonces el núcleo de $f$ es un hiperplano de $V.$

(c) Enunciar la proposición recíproca de la anterior, y estudiar su validez (en caso afirmativo da una demostración, y en caso contrario construir un contraejemplo.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

SOLUCIÓN

(a) Un vector pertenece a $H_1$ si y sólo si es de la forma $x(1,1,1)$ con $x\in \mathbb{R}$. Es decir, $H_1=L[(1,1,1)],$ y sabemos que todo subconjunto de un espacio vectorial de la forma $L[S]$ es subespacio. Además, $(1,1,1)$ es linealmente independiente y genera a $H_1$ lo cual implica que $\{(1,1,1)\}$ es base de $H_1$ y por tanto $\dim H_1=1.$ Concluimos que $H_1$ es hiperplano de $\mathbb{R}^3.$

De manera análoga, $H_2=L[(1,1,0),(0,0,1)],$ es decir $H_2$ es subespacio de $\mathbb{R}^3.$ Los vectores anteriores son linealmente independientes y generan $H_2.$ Entonces, $\dim H_2=2$ lo cual implica que $H_2$ no es un hiperplano de $\mathbb{R}^3.$

Podemos expresar $H_3=L[(1,1,0).$ Como se hizo para $H_1,$ concluimos que $H_3$ es hiperplano de $\mathbb{R}^3.$ Por último, el vector nulo no pertenece a $H_4$, con lo cual no es subespacio de $\mathbb{R}^3.$

(b) Sea $f:V\to \mathbb{R}$ una forma lineal no idénticamente nula, entonces existe $v\in V$ tal que $f(v)=a\neq 0.$ Es decir, $a\in\mbox{Im}f.$ Dado que $\{0\}\neq\mbox{Im}f\subset \mathbb{R}$, que $\mbox{Im}f$ es subespacio de $\mathbb{R}$ y que $\dim\mathbb{R}=1$ se deduce que $\dim \mbox{Im}f=1.$ Por el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales:

$\dim (\ker f)=\dim V -\dim (\mbox{Im}f)=n-1\Rightarrow \ker f\mbox{ es hiperplano de }\mathbb{R}^3.$

(c) La proposición recíproca de la anterior es:

Sea $f:V\to \mathbb{R}$ una forma lineal. Si $\ker f$ es un hiperplano de $V$, entonces $f$ no es idénticamente nula.

Esta proposición es cierta. En efecto, aplicando de nuevo el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales tenemos que $n=n-1+\dim (\mbox{Im}f)$, lo cual implica que $\dim (\mbox{Im}f)=1$ y por tanto $f$ no es idénticamente nula.

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