Hiperplanos

Estudiamos hiperplanos de un espacio vectorial.

    Enunciado
    Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión $n>1.$ Se dice que $H$ es un hiperplano de $V$ cuando $H$ es un subespacio vectorial de dimensión $n-1.$ Se pide:
  1. Determinar cuales de los subconjuntos $H_1,H_2,H_3,H_4$ del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ son subespacios, y cuales hiperplanos. Justificar las respuestas. $$\begin{aligned}
    &H_1=\{(x,x,x):x\in \mathbb{R}\},\\
    &H_2=\{(x,x,y):x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R}\},\\
    &H_3=\{(x,x,0):x\in \mathbb{R}\},\\
    &H_4=\{(x,x,1):x\in \mathbb{R}\}.
    \end{aligned}$$
  2. Sea $f:V\to \mathbb{R}$ una forma lineal no idénticamente nula. Demostrar que entonces el núcleo de $f$ es un hiperplano de $V.$
  3. Enunciar la proposición recíproca de la anterior, y estudiar su validez (en caso afirmativo da una demostración, y en caso contrario construir un contraejemplo.

    (Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

    Solución
  1. Un vector pertenece a $H_1$ si y sólo si es de la forma $x(1,1,1)$ con $x\in \mathbb{R}$. Es decir, $H_1=L[(1,1,1)],$ y sabemos que todo subconjunto de un espacio vectorial de la forma $L[S]$ es subespacio. Además, $(1,1,1)$ es linealmente independiente y genera a $H_1$ lo cual implica que $\{(1,1,1)\}$ es base de $H_1$ y por tanto $\dim H_1=1.$ Concluimos que $H_1$ es hiperplano de $\mathbb{R}^3.$
    De manera análoga, $H_2=L[(1,1,0),(0,0,1)],$ es decir $H_2$ es subespacio de $\mathbb{R}^3.$ Los vectores anteriores son linealmente independientes y generan $H_2.$ Entonces, $\dim H_2=2$ lo cual implica que $H_2$ no es un hiperplano de $\mathbb{R}^3.$
    Podemos expresar $H_3=L[(1,1,0).$ Como se hizo para $H_1,$ concluimos que $H_3$ es hiperplano de $\mathbb{R}^3.$ Por último, el vector nulo no pertenece a $H_4$, con lo cual no es subespacio de $\mathbb{R}^3.$
  2. Sea $f:V\to \mathbb{R}$ una forma lineal no idénticamente nula, entonces existe $v\in V$ tal que $f(v)=a\neq 0.$ Es decir, $a\in\mbox{Im}f.$ Dado que $\{0\}\neq\mbox{Im}f\subset \mathbb{R}$, que $\mbox{Im}f$ es subespacio de $\mathbb{R}$ y que $\dim\mathbb{R}=1$ se deduce que $\dim \mbox{Im}f=1.$ Por el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales: $$\dim (\ker f)=\dim V -\dim (\mbox{Im}f)=n-1\Rightarrow \ker f\mbox{ es hiperplano de }\mathbb{R}^3.$$
  3. La proposición recíproca de la anterior es:
    Sea $f:V\to \mathbb{R}$ una forma lineal. Si $\ker f$ es un hiperplano de $V$, entonces $f$ no es idénticamente nula.
    Esta proposición es cierta. En efecto, aplicando de nuevo el teorema de las dimensiones para aplicaciones lineales tenemos que $n=n-1+\dim (\mbox{Im}f)$, lo cual implica que $\dim (\mbox{Im}f)=1$ y por tanto $f$ no es idénticamente nula.
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.