Combinación lineal de vectores

Proponemos ejercicios sobre el concepto de combinación lineal de vectores.

TEORÍA

1 En el espacio vectorial real usual $\mathbb{R}^2$ estudiar si el vector $x=(-14,8)$ es combinación lineal de los vectores $v_1=(-1,7),\;v_2=(4,2).$

SOLUCIÓN

2 En el espacio vectorial real usual $\mathbb{R}^{2\times 2}$ de las matrices cuadradas de orden $2$ estudiar si $A$ es combinación lineal de $B$ y $C$ siendo $$A=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{1}&{1}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{bmatrix}\; ,\quad C=\begin{bmatrix}{2}&{3}\\{0}&{1}\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

3 En el espacio vectorial real $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ de las funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ demostrar que:
$(a)$ $\cos^2 x$ es combinación lineal de $1$ y $\cos 2x$.
$(b)$ $(\cos (x+1))(\cos (x-1))$ es combinación lineal de $1$ y $\cos^2 x$.

SOLUCIÓN

4 Sea el subconjunto infinito de $\mathbb{R}[x],$ $S=\{1,x,x^2,x^3,\ldots\}.$ Demostrar que $\mathbb{R}[x]=\langle S \rangle .$

SOLUCIÓN

5  Sea $E$ espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ y $S=\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}\subset E$. Demostrar que:
$(a)$ $L[S]$ es subespacio vectorial de $E$.
$(b)$ $L[S]$ es el menor de todos los subespacios vectoriales de $E$ que contienen a $S$.

SOLUCIÓN
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