Un campo gradiente

Enunciado
Se considera un campo vectorial $F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ definido en $\mathbb{R}^3$ y de clase $\mathcal{C}^1$. Se construye a partir de él un campo escalar $V(x,y,z)$ de la siguiente manera:

$V(x,y,z)=\displaystyle\int_{\Gamma} P\;dx+Q\;dy+R\;dz,$

en donde $\Gamma$ es la poligonal determinada por los puntos $(0,0,0)$, $(x,0,0)$, $(x,y,0)$ y $(x,y,z)$.

(a) Expresar $V$ como suma de integrales simples. Enunciar y demostrar una condición necesaria y suficiente que debe cumplir $F$ para que $\textrm{grad}\;V=F$.

(b) Determinar los valores de $p,q$ y $r$ para los cuales el campo de componentes

$$P(x,y,z)=-2xy(x^2+z^2+1)^p,$$ $$Q(x,y,z)=(x^2+z^2+1)^q,$$ $$ R(x,y,z)=-2yz(x^2+z^2+1)^r.$$

cumpla la condición del apartado anterior, y construir $V$ en este caso.

 (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
(a) Expresemos $V$ como suma de integrales simples. Denotemos a los puntos dados de la poligonal por $O,A,B,C$ respectivamente. Unas ecuaciones paramétricas de los correspondientes segmentos orientados son

$$OA:\; X=t,\;Y=0, \;Z=0\quad (t\in [0,x]),$$ $$
AB:\; X=x,\;Y=t, \;Z=0\quad (t\in [0,y]),$$ $$
BC: \;X=x,\;Y=y, \;Z=t\quad (t\in [0,z]).$$

Las integrales a lo largo de los segmentos son

$$\displaystyle\int_{OA}Pdx+Qdy+Rdz=\displaystyle\int_0^xP(t,0,0)dt,$$ $$
\displaystyle\int_{AB}Pdx+Qdy+Rdz=\displaystyle\int_0^yQ(x,t,0)dt,$$ $$
\displaystyle\int_{BC}Pdx+Qdy+Rdz=\displaystyle\int_0^zR(x,y,t)dt.$$

En consecuencia

$V(x,y,z)=\displaystyle\int_0^xP(t,0,0)dt+\int_0^yQ(x,t,0)dt+\displaystyle\int_0^zR(x,y,t)dt.$

Encontremos ahora una condición necesaria y suficiente para que de verifique $\textrm{grad}\;V=f$. Si $\textrm{grad}\;V=f$ entonces $\left(\frac{{\partial V}}{{\partial x}},\frac{{\partial V}}{{\partial y}},\frac{{\partial V}}{{\partial z}}\right)=(P,Q,R)$. Como $F$ es de clase 1 en $\mathbb{R}^3$, el campo $V$ es de clase 2 en $\mathbb{R}^3$ (se ha obtenido por integraciones). Podemos por tanto cambiar el orden de derivación, es decir

$$\dfrac{{\partial Q}}{{\partial x}}=\dfrac{{\partial}}{{\partial x}}\left(\dfrac{{\partial V}}{{\partial y}}\right)=\dfrac{{\partial}}{{\partial y}}\left(\dfrac{{\partial V}}{{\partial x}}\right)=\dfrac{{\partial P}}{{\partial y}},$$ $$
\dfrac{{\partial Q}}{{\partial z}}=\dfrac{{\partial}}{{\partial z}}\left(\dfrac{{\partial V}}{{\partial y}}\right)=\dfrac{{\partial}}{{\partial y}}\left(\dfrac{{\partial V}}{{\partial z}}\right)=\dfrac{{\partial R}}{{\partial y}},$$ $$
\dfrac{{\partial R}}{{\partial x}}=\dfrac{{\partial}}{{\partial x}}\left(\dfrac{{\partial V}}{{\partial z}}\right)=\dfrac{{\partial}}{{\partial z}}\left(\dfrac{{\partial V}}{{\partial x}}\right)=\dfrac{{\partial P}}{{\partial z}}.$$

Es decir, una condición necesaria para que que verifique $\textrm{grad}\;V=f$ es

$\dfrac{{\partial Q}}{{\partial x}}=\dfrac{{\partial P}}{{\partial y}}\;\wedge\; \dfrac{{\partial Q}}{{\partial z}}=\dfrac{{\partial R}}{{\partial y}} \;\wedge\; \dfrac{{\partial R}}{{\partial x}}=\dfrac{{\partial P}}{{\partial z}}.\qquad (1)$

Obsérvese que la condición (1) equivale a $\textrm{rot}\;F=0$. Veamos que la condición (1) es también condición suficiente para que se verifique $\textrm{grad}\;V=f$. Si se verifica (1), entonces aplicando el teorema fundamental del Cálculo y el teorema de derivación de integrales dependientes de un parámetro:

$$\dfrac{{\partial V}}{{\partial x}}=\dfrac{{\partial }}{{\partial x}}\left[\displaystyle\int_0^xP(t,0,0)dt+\displaystyle\int_0^yQ(x,t,0)dt+\displaystyle\int_0^zR(x,y,t)dt\right]=$$ $$P(x,0,0)+\displaystyle\int_0^y\dfrac{\partial Q(x,t,0)}{\partial x}dt+\displaystyle\int_0^z\dfrac{\partial R(x,y,t)}{\partial x}dt.$$

Usando la condición (1):

$$\dfrac{{\partial V}}{{\partial x}}=P(x,0,0)+\displaystyle\int_0^y\dfrac{\partial P(x,t,0)}{\partial y}dt+\displaystyle\int_0^z\dfrac{\partial P(x,y,t)}{\partial z}dt=$$ $$
P(x,0,0)+\left[ P(x,t,0)\right]_0^y+\left[ P(x,y,t)\right]_0^z=P(x,0,0)+$$ $$
P(x,y,0)-P(x,0,0)+P(x,y,z)-P(x,y,0)=P(x,y,z).$$

Es decir, $\dfrac{{\partial V}}{{\partial x}}=P$. De manera análoga se demuestra $\dfrac{{\partial V}}{{\partial y}}=Q$ y $\dfrac{{\partial V}}{{\partial z}}=R$. Concluimos que (1) es condición necesaria y suficiente para que ocurra $\textrm{grad}\;V=f$.

(b) Determinemos $p,q$ y $r$ para que se verifique $\textrm{grad}\;V=f$ en el campo $F$ dado. Usamos para ello la caracterización del apartado anterior

$$\dfrac{{\partial P}}{{\partial y}}=\dfrac{{\partial Q}}{{\partial x}}\Leftrightarrow -2x(x^2+z^2+1)^p=2qx(x^2+z^2+1)^{q-1}$$ $$\Leftrightarrow q=-1\;\wedge\; p=q-1,$$ $$\dfrac{{\partial Q}}{{\partial z}}=\dfrac{{\partial R}}{{\partial y}}\Leftrightarrow 2qz(x^2+z^2+1)^{q-1}=-2z(x^2+z^2+1)^{r}$$ $$\Leftrightarrow q=-1\;\wedge\; q-1=r,$$ $$\dfrac{{\partial R}}{{\partial x}}=\dfrac{{\partial Q}}{{\partial z}}\Leftrightarrow -4rxyz(x^2+z^2+1)^{r-1}=-4pxyz(x^2+z^2+1)^{p-1}$$ $$\Leftrightarrow p=r\;\wedge\; r-1=q-1.$$

Resolviendo el correspondiente sistema obtenemos $p=-2,\;q=-1,\;r=-2$. El campo $F$ es por tanto

$F(x,y,z)=\left(\dfrac{2xy}{(x^2+z^2+1)^2},\;\dfrac{1}{x^2+z^2+1},\;\dfrac{-2yz}{(x^2+z^2+1)^2}\right).$

El campo $V$ es:

$$V(x,y,z)=\displaystyle\int_0^x0dt+\displaystyle\int_0^y\dfrac{1}{x^2+1}dt+\displaystyle\int_0^z\dfrac{-2yt}{(x^2+t^2+1)^2}dt$$ $$
=\dfrac{y}{x^2+1}+\left[\dfrac{y}{x^2+t^2+1}\right]_0^z=\dfrac{y}{x^2+z^2+1}.$$

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