Cambio de base en aplicaciones lineales, matrices equivalentes

Proporcionamos ejercicios sobre el cambio de base en aplicaciones lineales y matrices equivalentes.

TEORÍA

1 Calcular los valores de $a\in\mathbb{R}$ para los cuales son equivalentes las matrices reales: $$A=\begin{bmatrix}1 &  2 & 3\\1 & 1 & 0\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1 & 1 & 5\\1 & 1 & a\end{bmatrix}.$$

SOLUCIÓN

2 Sea $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ la aplicación lineal cuya matriz respecto de unas bases $B_{\mathbb{R}^2}=\{u_1,u_2\}$ y  $B_{\mathbb{R}^3}=\{v_1,v_2,v_3\}$ es $A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{3}\\{2}&{0}&{3}\end{bmatrix}.$ Hallar la matriz de $f$ respecto de las nuevas bases $B’_{\mathbb{R}^2}=\{u_1+u_2,u_1-u_2\}$ y  $B’_{\mathbb{R}^3}=\{v_1,v_1+v_2,v_1+v_2+v_3\}.$

SOLUCIÓN

3 Sea $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ la aplicación lineal dada por $$T(2,-1)=(1,1),\; T(3,1)=(2,4).$$ Hallar la matriz de $T$ en la base canónica de $\mathbb{R}^2.$

SOLUCIÓN

4 Se considera la aplicación lineal $f: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^4$ cuya matriz asociada respecto de las bases canónicas es $$A=\begin{bmatrix}{-1}&{2}&{3}\\{2}&{-4}&{-6}\\{0}&{-1}&{-2}\\{1}&{1}&{3}\end{bmatrix}\;.$$ Localizar bases de $\mathbb{R}^3$ y $\mathbb{R}^4$ para que la matriz asociada a $f$ sea de la forma  $\begin{bmatrix}I_r & 0\\0& 0\end{bmatrix},$ verificando el resultado.

SOLUCIÓN

5 Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}_3[x]\to \mathbb{R}_2[x]$ dada por $$f(p)=-p(0)+p’.$$ Hallar un par de bases en las que la matriz de $f$ sea $\begin{bmatrix}I_r & 0\\0& 0\end{bmatrix}.$

SOLUCIÓN

6  Sea $A$ la matriz de una aplicación lineal $f:E\to F,$ en las bases  $B_E=\{u_1,\ldots,u_m\}$ y $B_F=\{v_1,\ldots,v_n\}.$  Sean las nuevas bases  $B’_E=\{u’_1,\ldots,u’_m\}$ y $B’_F=\{v’_1,\ldots,v’_n\}.$

Demostrar que la matriz de $f$ en las bases $B’_E$ y $B’_F$ es $Q^{-1}AP,$ siendo $P$ la matriz de cambio de $B_E$ a $B’_E$ y $Q$ la de cambio de $B_F$ a $B’_F.$

SOLUCIÓN

7  Demostrar que la relación en $\mathbb{K}^{n\times m}:$ $A\sim B\Leftrightarrow$ $A$ es equivalente a $B,$ es una relación de equivalencia.

SOLUCIÓN

8  Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal con $\dim E=m,$ $\dim F=n$ finitas y sea $\dim \operatorname{Im}f=r.$ Demostrar que existen bases $B_E$ y $B_F$ de $E$ y $F$ respectivamente tales que: $$[f]_{B_E}^{B_F}=\begin{bmatrix}I_r & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix},$$ siendo $I_r$ la matriz identidad de orden $r.$

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.