Una aplicación de las desigualdades de Cauchy

Enunciado
Sea $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ una función entera (holomorfa en todo el plano complejo), tal que $a_n\geq 0,\;\sum_{n=0}^{\infty}a_n=1$ y además satisface la desigualdad $\left|f(x)\right|\leq x$ para todo $x\geq 0.$ Se pide:

(a) Calcular $f(0)$ y $f(1).$
(b) Demostrar que $\left|f(z)\right|\leq |z|$ para todo $z\in \mathbb{C}.$
(c) Demostrar que $f(z)=z$ para todo $z\in \mathbb{C}.$ Indicación: Utilizar las desigualdades de Cauchy para las derivadas de $f.$

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
(a) Tenemos $\left|f(0)\right|\leq \left|0\right|=0$, lo cual implica $f(0)=0.$ Además, $f(1)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n=1.$

(b) Expresando en forma exponencial $z=\rho e^{i\theta}:$

$$\left|f(z)\right|=\left | \sum_{n=0}^{\infty} a_n(\rho e^{i\theta})^n\right |=\left | \sum_{n=0}^{\infty} a_n\rho^n e^{in\theta}\right |$$ $$\leq\sum_{n=0}^{\infty} a_n\rho^n \left|e^{in\theta}\right|=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\rho^n=f(\rho).$$

De $0\leq \left|f(z)\right|\leq f(\rho)$ deducimos $f(\rho)=\left|f(\rho)\right|,$ y de $\rho \geq 0$ y $\left|f(x)\right|\leq x\;\;\forall x\geq 0:$

$\left|f(z)\right|\leq f(\rho)\leq \rho =\left|z\right|.$

Es decir, $\left|f(z)\right|\leq \left|z\right|$ para todo $z\in \mathbb{C}.$

(c) Recordamos el teorema de las desigualdades de Cauchy: Si $f(z)$ es holomorfa en un abierto $\Omega\subset \mathbb{C}$ y $\left|f(z)\right|\leq M$ en la circunferencia $\left|z-a\right|=r$ contenida en $\Omega,$ entonces

$\left|f^{(n)}(a)\right| \leq \dfrac{n!M}{r^n}\quad (n=0,1,2,\ldots).$

En nuestro caso, dado que $f(z)$ es holomorfa en $\mathbb{C}$ y que $\left|f(z)\right|\leq \left|z\right|$ para todo $z\in \mathbb{C}$ tenemos para todo $r>0$

$\left|a_n n!\right|=\left|f^{(n)}(0)\right| \leq \dfrac{n!r}{r^n}=\dfrac{n!}{r^{n-1}}\quad (n=0,1,2,\ldots).$

Es decir, $0\leq \left|a_n\right|\leq 1/r^{n-1}.$ Para $n\geq 2$ y tomando límites cuando $r\to +\infty$ obtenemos $0\leq \left|a_n\right|\leq 0.$ Por tanto, $a_2=a_3=\ldots=0.$ Como $a_0=0$ y $a_1=1,$ concluimos que $f(z)=z.$

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