Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes

Proporcionamos ejercicios sobre cambio de base en endomorfismos y matrices semejantes.

TEORÍA

1 Sea $f$ el endomorfismo en $\mathbb{R}^3$ cuya matriz en la base canónica $B$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{-1}\\{2}&{-1}&{2}\end{bmatrix}.$$ Hallar la matriz de $f$ en la base $B’=\{u_1,u_2,u_3\},$ siendo $u_1=(1,1,1),$ $u_2=(1,2,2),$ $u_3=(2,3,1).$

SOLUCIÓN

2 Sea $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ el endomorfismo cuya matriz en la base $B=\{(1,2),(3,1)\}$ es $A=\begin{bmatrix}{-1}&{2}\\{3}&{5}\end{bmatrix}.$ Hallar la matriz de $f$ en la base canónica de $\mathbb{R}^2.$

SOLUCIÓN

3 Sea $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ el endomorfismo dado por $T(x_1,x_2)=(x_1,0).$ Hallar la matriz de $T$ en la base $B=\{(1,2),(-1,3)\}.$

SOLUCIÓN

4  Sea $A$ la matriz de un endomorfismo  $f:E\to E,$ en la base de $E,$ $B=\{u_1,\ldots,u_n\}.$ Sea la nueva base  $B’=\{u’_1,\ldots,u’_n\}.$

Demostrar que la matriz de $f$ en las nueva base $B’$  es $P^{-1}AP,$ siendo $P$ la matriz de cambio de $B$ a $B’.$

SOLUCIÓN

5  Demostrar que la relación en $\mathbb{K}^{n\times n}:$ $A\sim B\Leftrightarrow$ $A$ es semejante a $B,$ es una relación de equivalencia.

SOLUCIÓN

6  Demostrar que dos matrices semejantes tiene la misma traza y el mismo determinante.

SOLUCIÓN

7 Encontrar dos matrices con el mismo determinante y con la misma traza pero que no sean semejantes.

SOLUCIÓN
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