Cambio de base en endomorfismos, matrices semejantes

Proporcionamos ejercicios sobre cambio de base en endomorfismos y matrices semejantes.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Sea $f$ el endomorfismo en $\mathbb{R}^3$ cuya matriz en la base canónica $B$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{-1}\\{2}&{-1}&{2}\end{bmatrix}.$$ Hallar la matriz de $f$ en la base $B’=\{u_1,u_2,u_3\},$ siendo $u_1=(1,1,1),$ $u_2=(1,2,2),$ $u_3=(2,3,1).$
  2. Sea $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ el endomorfismo cuya matriz en la base $B=\{(1,2),(3,1)\}$ es $A=\begin{bmatrix}{-1}&{2}\\{3}&{5}\end{bmatrix}.$ Hallar la matriz de $f$ en la base canónica de $\mathbb{R}^2.$
  3. Sea $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ el endomorfismo dado por $T(x_1,x_2)=(x_1,0).$ Hallar la matriz de $T$ en la base $B=\{(1,2),(-1,3)\}.$
  4. Sea $A$ la matriz de un endomorfismo $f:E\to E,$ en la base de $E,$ $B=\{u_1,\ldots,u_n\}.$ Sea la nueva base $B’=\{u’_1,\ldots,u’_n\}.$
    Demostrar que la matriz de $f$ en las nueva base $B’$ es $P^{-1}AP,$ siendo $P$ la matriz de cambio de $B$ a $B’.$
  5. Demostrar que la relación en $\mathbb{K}^{n\times n}:$ $A\sim B\Leftrightarrow$ $A$ es semejante a $B,$ es una relación de equivalencia.
  6. Demostrar que dos matrices semejantes tiene la misma traza y el mismo determinante.
  7. Encontrar dos matrices con el mismo determinante y con la misma traza pero que no sean semejantes.
    Solución
  1. Llamemos $B=\{e_1,e_2,e_3\},$ entonces $$\left \{ \begin{matrix} u_1=e_1+e_2+e_3 \\u_2=e_1+2e_2+2e_3\\u_3=2e_1+3e_2+e_3 \end{matrix}.\right.$$ La matriz $P$ de cambio de la base $B$ a la $B’$ es por tanto $$P=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{2}\\{1}&{2}&{3}\\{1}&{2}&{1}\end{bmatrix},$$ en consecuencia la matriz de $f$ en la base $B’$ es $$[f]_{B’}=P^{-1}AP=\ldots=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}{-15}&{-20}&{-17}\\{3}&{4}&{5}\\{3}&{4}&{1}\end{bmatrix}.$$
  2. Llamemos $B_c=\{e_1,e_2\}$ a la base canónica de $\mathbb{R}^2,$ y sea $v_1=(1,2),$ $v_2=(3,1).$ Entonces, $$\left \{ \begin{matrix} v_1=e_1+2e_2 \\v_2=3e_1+e_2 \end{matrix}\right.$$ por tanto, la matriz de cambio de $B_c$ a $B$ es $H=\begin{bmatrix}{1}&{3}\\{2}&{1}\end{bmatrix}$ y la de $B$ a $B_c$ es $P=H^{-1}.$ En consecuencia, la matriz de $f$ en la base canónica es $$[f]_{B_c}=P^{-1}AP=HAH^{-1}=\dots=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}{26}&{7}\\{17}&{-6}\end{bmatrix}.$$
  3. Primer método. Llamando $B_c=\{e_1,e_2\}$ a la base canónica de $\mathbb{R}^2$ y $v_1=(1,2),$ $v_2=(-1,3),$ $$ \left \{ \begin{matrix} T(e_1)=e_1 \\T(e_2)=0 \end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} v_1=e_1+2e_2 \\v_2=-e_1+3e_2, \end{matrix}\right.$$ por tanto la matrices $A$ de $T$ en la base canónica, y la de cambio de la canónica a la $B$ son: $$A=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\quad P=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{2}&{3}\end{bmatrix}.$$ En consecuencia, las matriz de $T$ en $B$ es $$[T]_B=P^{-1}AP=\ldots=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}{3}&{-3}\\{-2}&{2}\end{bmatrix}.$$ Segundo método. Hallemos los transformados de los vectores de $B$ en función de $B:$ $$ \left \{ \begin{matrix} T(1,2)=(1,0)=\alpha_1(1,2)+\alpha_2 (-1,3) \\ T(-1,3)=(-1,0)=\beta_1(1,2)+\beta_2 (-1,3).\end{matrix}\right.$$ Igualando componentes y resolviendo los sistemas, obtenemos $$\alpha_1=3/5,\;\alpha_2=-2/5,\;\beta_1=-3/5,\;\beta_2=2/5,$$ por tanto $$ \displaystyle\left \{ \begin{matrix} T(v_1)=\dfrac{3}{5}v_1-\dfrac{2}{5}v_2 \\ T(v_2)=-\dfrac{3}{5}v_1+\dfrac{2}{5}v_2,\end{matrix}\right.$$ y transponiendo coeficientes: $$[T]_B=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}{3}&{-3}\\{-2}&{2}\end{bmatrix}.$$
  4. Si en el teorema general del cambio de base para aplicaciones lineales, hacemos $B_E=B_F=B$ y $B’_E=B’_F=B’$ entonces, $P=Q$ y por tanto $$[f]_{B’}=[f]_{B’_E}^{B’_F}=Q^{-1}AP=P^{-1}AP.$$
  5. Reflexiva. Para todo $A\in \mathbb{K}^{n\times n} $ se verifica $A=I_n^{-1}AI_n$ siendo $I_n,$ invertible, luego $A\sim A.$
    Simétrica. Para todo $A,B\in \mathbb{K}^{n\times n}:$ $$A\sim B\Rightarrow \exists P\in \mathbb{K}^{n\times n}\text{ invertible }:B=P^{-1}AP$$ $$\Rightarrow A=PBP^{-1}=(P^{-1})^{-1}B(P^{-1}),$$ siendo $P^{-1}$ invertible, por tanto $A\sim B\Rightarrow B\sim A.$
    Transitiva. Para todo $A,B,C\in \mathbb{K}^{n\times n}:$ $$\left \{ \begin{matrix} A\sim B \\B\sim C \end{matrix}\right.\Rightarrow\left \{ \begin{matrix} \exists P_1\in \mathbb{K}^{n\times n}\text{ invertible }:B=P_1^{-1}AP_1 \\\exists P_2\in \mathbb{K}^{n\times n}\text{ invertible }:C=P_2^{-1}BP_2 \end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow C=P_2^{-1}P_1^{-1}AP_1P_2=(P_1P_2)^{-1}A(P_1P_2),$$ siendo $P_1P_2$ invertible, por tanto $A\sim B$ y $B\sim C,$ implica $A\sim C.$
  6. Si $A,B\in\mathbb{K}^{n\times n}$ son semejantes, existe $B\in\mathbb{K}^{n\times n}$ invertible tal que $B=P^{-1}AP.$ Tomando determinantes, y usando conocidas propiedades: $$\left|B\right|=\left|P^{-1}AP\right|=\left|P^{-1}\right|\left|A\right|\left|P\right|=\frac{1}{\left|P\right|}\left|A\right|\left|P\right|=\left|A\right|.$$ Por ora parte, dadas dos matrices $M,N\in\mathbb{K}^{n\times n},$ sabemos que $\operatorname{tr}(MN)=\operatorname{tr}(NM).$ Entonces $$\operatorname{tr}B=\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}\left(P^{-1}(AP)\right)$$ $$=\operatorname{tr}\left((AP)P^{-1}\right)=\operatorname{tr}\left(A(PP^{-1})\right)=\operatorname{tr}(AI)=\operatorname{tr}A.$$
  7. Elijamos las matrices de $\mathbb{R}^{2\times 2}:$ $$A=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}.$$ Se verifica $\left|A\right|=\left|B\right|=0$ y $\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}B=0,$ sin embargo para toda matriz $P\in \mathbb{R}^{2\times 2}$ invertible, $P^{-1}AP=P^{-1}0P=0\neq B$ lo cual implica que $A$ y $B$ no son semejantes.
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