Diagonalización según parámetros

Aplicaremos el teorema fundamental para discutir la diagonalización según parámetros.

    Enunciado
  1. Determinar los valores de $\alpha\in\mathbb{R}$ para los cuales es diagonalizable en $\mathbb{R}$ la matriz$$A=\begin{bmatrix}{2\alpha+4}&{1-\alpha}&{-2\alpha -\alpha^2}\\{0}&{4-\alpha}&{0}\\{0}&{0}&{4-\alpha^2}\end{bmatrix}.$$
  2. Determinar los valores de $\alpha$ y $\beta$ reales para los cuales es diagonalizable en $\mathbb{R}$ la matriz $$A=\begin{bmatrix}{5}&{\;\;0}&{0}\\{0}&{-1}&{\beta}\\{3}&{\;\;0}&{\alpha}\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3}.$$
  3. Determinar los valores de $a,b,c\in\mathbb{R}$ para los cuales es diagonalizable en $\mathbb{R}$ la matriz $$A=\begin{bmatrix}{1}&{a}&{1}\\{0}&{1}&{b}\\{0}&{0}&{c}\end{bmatrix}.$$
  4. Determinar los valores de $m$ para los cuales no es diagonalizable en $\mathbb{R}$ la matriz real$$A=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{-2}&{-2}\\{-2}&\;\;{m}&{\;\;8}\\{\;\;2}&{\;\;8}&{\;\;m}\end{bmatrix}.$$
    Solución
  1. El polinomio característico de $A$ es $$\displaystyle\begin{aligned}
    |A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}{2\alpha+4-\lambda}&{1-\alpha}&{-2\alpha -\alpha^2}\\{0}&{4-\alpha-\lambda}&{0}\\{0}&{0}&{4-\alpha^2-\lambda}\end{vmatrix}\\
    &=(2\alpha+4-\lambda)(4-\alpha-\lambda)(4-\alpha^2-\lambda).
    \end{aligned}$$ Los valores propios de $A$ son por tanto $\lambda_1=2\alpha+4,$ $\lambda_2=4-\alpha$ y $\lambda_3=4-\alpha^2.$ Dado que los tres valores propios son reales, la matriz $A$ será diagonalizable si y sólo si la dimensión da cada subespacio propio coincide con la multiplicidad del mismo. Determinemos que multiplicidades pueden aparecer.
    Primer caso: $\lambda_1=\lambda_2.$ Entonces, $2\alpha+4=4-\alpha$ es decir $\alpha=0.$ En este caso el único valor propio es $\lambda_1=4$ (triple). La dimensión del subespacio propio $V_{4}$ asociado al valor propio $4$ es: $$\dim V_4=3-\mbox{rg}(A-4I)=3-\mbox{rg}\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}=3-1=2.$$ La dimensión no coincide con la multiplicidad, por tanto $A$ no es diagonalizable.
    Segundo caso: $\lambda_1=\lambda_3.$ Entonces, $2\alpha+4=4-\alpha^2$ es decir $\alpha^2+2\alpha=0.$ Las soluciones de esta ecuación son $\alpha=0$ y $\alpha=-2.$ El caso $\alpha=0$ ya está estudiado. Para $\alpha=-2$ tenemos los valores propios $\lambda_1=0$ (doble) y $\lambda_2=6$ (simple). Por ser $6$ valor propio simple, $\dim V_6=1.$ Hallemos la dimensión de $V_{0}:$ $$\dim V_0=3-\mbox{rg}(A-0I)=3-\mbox{rg}\begin{bmatrix}{0}&{3}&{0}\\{0}&{6}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}=3-1=2.$$
    La matriz es por tanto diagonalizable.
    Tercer caso: $\lambda_2=\lambda_3.$ Entonces, $4-\alpha=4-\alpha^2$ es decir $\alpha^2-\alpha=0.$ Las soluciones de esta ecuación son $\alpha=0$ y $\alpha=1.$ El caso $\alpha=0$ ya está estudiado. Para $\alpha=1$ tenemos los valores propios $\lambda_1=6$ (simple) y $\lambda_2=3$ (doble). Por ser $6$ valor propio simple, $\dim V_6=1.$ Hallemos la dimensión de $V_{3}:$ $$\dim V_3=3-\mbox{rg}(A-3I)=3-\mbox{rg}\begin{bmatrix}{3}&{0}&{-3}\\{0}&{0}&{\;\;0}\\{0}&{0}&{\;\;0}\end{bmatrix}=3-1=2.$$ La matriz es diagonalizable.
    Cuarto caso: $\lambda_1\neq \lambda_2\neq \lambda_3\neq \lambda_1.$ Es decir, los valores propios son distintos dos a dos. Esto ocurre para $\alpha\neq 0 \;\wedge\;\alpha\neq -2\;\wedge\;\alpha\neq 1.$ Los tres valores propios son simples, y en consecuencia $A$ es diagonalizable.
    De todos los casos analizados concluimos que $A$ es diiagonalizable si y sólo si $\alpha\neq 0.$
  2. Polinomio característico de $A:$ $$\begin{vmatrix}{5-\lambda}&{\;\;0}&{0}\\{0}&{-1-\lambda}&{\beta}\\{3}&{\;\;0}&{\alpha-\lambda}\end{vmatrix}=(5-\lambda)(-1-\lambda)(\alpha-\lambda).$$ Los valores propios son $\lambda_1=5$, $\lambda_2=-1$ y $\lambda_3=\alpha$ (todos reales).
    Primer caso: $\lambda_1=\lambda_2$. Equivale a $5=-1$, por tanto éste caso no ocurre.
    Segundo caso: $\lambda_1=\lambda_3$. Equivale a $5=\alpha$. Los valores propios son $5$ (doble) y $-1$ (simple). La dimensión de $V_{-1}$ es $1$ por ser $-1$ simple. La dimensión de $V_5$ es $$\dim V_5=3-\text{rg }(A-5I)=3-\text{rg }\begin{bmatrix}{0}&{\;\;0}&{0}\\{0}&{-6}&{\beta}\\{3}&{\;\;0}&{0}\end{bmatrix}=3-2=1.$$ La dimensión no coincide con la multiplicidad, por tanto $A$ no es diagonalizable.
    Tercer caso: $\lambda_2=\lambda_3$. Equivale a $-1=\alpha$. Los valores propios son $5$ (simple) y $-1$ (doble). La dimensión de $V_{5}$ es $1$ por ser $5$ simple. La dimensión de $V_{-1}$ es $$\dim V_{-1}=3-\text{rg }(A+I)=3-\text{rg }\begin{bmatrix}{6}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{\beta}\\{3}&{0}&{0}\end{bmatrix}.$$ Si $\beta=0$ tenemos $\dim V_{-1}=3-1=2$ y $A$ es diagonalizable. Si $\beta\neq0$ tenemos $\dim V_{-1}=3-2=1$ y $A$ no es diagonalizable. Podemos concluir: $$(\alpha\neq 5)\wedge (\alpha\neq -1):\text{ diagonalizable},\\\alpha=5:\text{ no diagonalizable}.\\
    \alpha=-1\:\left \{ \begin{matrix} \beta=0:\text{ diagonalizable},\\ \beta\neq 0:\text{ no diagonalizable.} \end{matrix}\right.$$
  3. Valores propios $$\begin{vmatrix}{1-\lambda}&{a}&{1}\\{0}&{1-\lambda}&{b}\\{0}&{0}&{c-\lambda}\end{vmatrix}=(1-\lambda)^2(c-\lambda)=0\Leftrightarrow \lambda=1\vee\lambda=c.$$ Los valores propios son todos reales.
    Primer caso: $c=1$. En éste caso el único valor propio es $\lambda=1$ (triple). $$\dim V_1=3-\text{rg }(A-I)=3-\text{rg }\begin{bmatrix}{0}&{a}&{1}\\{0}&{0}&{b}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\neq 3.$$ La dimensión no coincide con la multiplicidad y por tanto $A$ no es diagonalizable.
    Segundo caso: $c\neq 1$. En éste caso, los valores propios son $\lambda=1$ (doble) y $\lambda=c$ (simple). La dimensióbn de $V_c$ es $1$ por ser $\lambda=c$ simple. $$\dim V_1=3-\text{rg }(A-I)=3-\text{rg }\begin{bmatrix}{0}&{a}&{1}\\{0}&{0}&{b}\\{0}&{0}&{c-1}\end{bmatrix}.$$ Si $a=0$, $\dim V_1=3-1=2$ y por tanto, $A$ es diagonalizable. Si $a\neq 0$, al ser $c-1\neq 0$ tenemos $\dim V_1=3-2=1$ y por tanto, $A$ no es diagonalizable.
    Podemos concluir: $$A \text{ es diagonalizable}\Leftrightarrow (c\neq 1)\wedge(a=0).$$
  4. Sumando a la tercera fila la segunda y posteriormente, restando a la segunda columna la tercera:: $$\begin{vmatrix}{\;\;1-\lambda}&{-2}&{-2}\\{-2}&\;\;{m-\lambda}&{\;\;8}\\{\;\;2}&{\;\;8}&{\;\;m-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\;\;1-\lambda}&{-2}&{-2}\\{-2}&\;\;{m-\lambda}&{\;\;8}\\{\;\;0}&{\;\;m-\lambda+8}&{\;\;m-\lambda+8}\end{vmatrix}\\
    =\begin{vmatrix}{\;\;1-\lambda}&{\;\;0}&{-2}\\{-2}&\;\;{m-\lambda-8}&{\;\;8}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{\;\;m-\lambda+8}\end{vmatrix}=(m-\lambda-8)\begin{vmatrix}{\;\;1-\lambda}&{-2}\\{\;\;0}&{\;\;m-\lambda+8}\end{vmatrix}\\
    =(m-\lambda-8)(m-\lambda+8)(\lambda-1)=0\Leftrightarrow(\lambda=m-8)\vee (\lambda=m+8)\vee(\lambda=1).$$ Todos los valores propios son reales.
    Primer caso: $m-8=m+8$. Equivale a decir $-8=8$, es decir éste caso no ocurre.
    Segundo caso: $m-8=1$. Equivale a $m=9$ y los valores propios son $\lambda=1$ (doble) y $\lambda=17$ (simple). La dimensión de $V_{17}$ es $1$ por ser $\lambda=17$ simple. $$\dim V_1=3-\text{rg }(A-I)=3-\text{rg }\begin{bmatrix}{0}&{-2}&{-2}\\{-2}&{8}&{8}\\{2}&{8}&{8}\end{bmatrix}=3-2=1.$$La matriz $A$ no es diagonalizable.
    Tercer caso: $m+8=1$. Equivale a $m=-7$ y los valores propios son $\lambda=1$ (doble) y $\lambda=-15$ (simple). La dimensión de $V_{-15}$ es $1$ por ser $\lambda=-15$ simple.$$\dim V_1=3-\text{rg }(A-I)=3-\text{rg }\begin{bmatrix}{0}&{-2}&{-2}\\{-2}&{-8}&{8}\\{2}&{8}&{-8}\end{bmatrix}=3-2=1.$$ La matriz $A$ no es diagonalizable.
    Cuarto caso: los valores propios son distintos dos a dos. Equivale a $m\neq 9$ y $m\neq -7$. En éste caso al ser los valore propios simples, la matriz es diagonalizable. Podemos concluir que: $$A\text{ no es diagonalizable}\Leftrightarrow (m=9)\vee (m=-7).$$
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.