Anillo de los endomorfismos y grupo lineal

Construimos el anillo de los endomorfismos y el grupo lineal.

TEORÍA

1  Demostrar que $\left(\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E),+,\circ \right)$ es un anillo unitario, en donde $+$ es la suma habitual de aplicaciones lineales y $\circ$ la composición.

SOLUCIÓN

2  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y de dimensión finita $n$. Sea $B$ una base de $E.$ Demostrar que la aplicación $$\varphi:\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E)\to \mathbb{K}^{n\times n},\quad\varphi (f)=[f]_B$$ es un isomorfismo de anillos.

SOLUCIÓN

3  Demostrar que para todo $\lambda\in\mathbb{K}$ y para todo $f,g\in\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E)$ se verifica $$(\lambda g)\circ f=\lambda(g\circ f)=g\circ(\lambda f).$$

SOLUCIÓN
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