Anillo de los endomorfismos y grupo lineal

Construimos el anillo de los endomorfismos y el grupo lineal.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que $\left(\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E),+,\circ \right)$ es un anillo unitario, en donde $+$ es la suma habitual de aplicaciones lineales y $\circ$ la composición.
  2. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y de dimensión finita $n$. Sea $B$ una base de $E.$ Demostrar que la aplicación $$\varphi:\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E)\to \mathbb{K}^{n\times n},\quad\varphi (f)=[f]_B$$ es un isomorfismo de anillos.
  3. Demostrar que para todo $\lambda\in\mathbb{K}$ y para todo $f,g\in\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E)$ se verifica $$(\lambda g)\circ f=\lambda(g\circ f)=g\circ(\lambda f).$$
    Solución
  1. Sabemos que $\left(\mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F),+\right)$ es grupo abeliano, por tanto lo es $\left(\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E),+\right)$ al ser un caso particular. Veamos que $\left(\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E),\circ\right)$ es semigrupo. Habíamos demostrado que la composición de aplicaciones lineales es lineal, en consecuencia para todo $f,g\in \operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E)$ se verifica $f\circ g\in\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E).$ La composición de aplicaciones es en general asociativa, luego lo es en $\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E).$

    Veamos que la operación $\circ$ es por distributiva respecto de la $+.$ Para todo $f,$ $g,$ $h$ elementos de $\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E)$ y para todo $x\in E,$ $$\left(f\circ (g+h)\right)(x)=f\left((g+h)(x)\right)=f\left(g(x)+h(x)\right)=f\left(g(x)\right)+f\left(h(x)\right)$$ $$=(f\circ g)(x)+(f\circ h)(x)=\left(f\circ g+f\circ h\right)(x),$$ y por definición de igualdad de aplicaciones, $f\circ (g+h)=f\circ g+f\circ h.$ Por otra parte, $$\left((g+h)\circ f \right)(x)=\left(g+h\right)(f(x))=g\left(f(x)\right)+h\left(f(x)\right)$$ $$=(g\circ f)(x)+(h\circ f)(x)=\left(g\circ f+h\circ f\right)(x),$$ y por definición de igualdad de aplicaciones, $(g+h)\circ f=g\circ f+h\circ f.$ Hemos demostrado que $\left(\operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E),+,\circ \right)$ es un anillo.
    El anillo es unitario pues la aplicación identidad $I_E$ es un endomorfismo en $E$ que para todo $f\in \operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E)$ verifica $f\circ I_E=I_E\circ f=f.$ Es por tanto elemento neutro para la operación $\circ.$

  2. Vimos que para espacios vectoriales $E$ y $F$ de dimensiones finitas, $$\phi:\mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F)\to\mathbb{K}^{n\times m}$$ definida por $\phi(f)=[f]_{B_E}^{B_F}$ es un isomorfismo de espacios vectoriales. Como caso particular ($E=F$ y $B_E=B_F=B$), la aplicación $\varphi$ es biyectiva y homomorrfismo de grupos. Por otra parte, para todo $g,f\in \operatorname{End}_{\mathbb{K}}(E):$ $$\varphi (g\circ f)=[g\circ f]_B=[g\circ f]_B^B=[g]_B^B\;[ f]_B^B=[g]_B\;[ f]_B=\varphi (g)\;\varphi ( f).$$ Hemos demostrado que $\varphi$ es isomorfismo de anillos. Además, $\varphi (I_E)=[I_E]_B=I_n$ (matriz identidad de orden $n$), es decir $\varphi$ transforma el elemento unidad del anillo inicial en el elemento unidad del anillo final.
  3. Para todo $x\in E$: $$[(\lambda g)\circ f](x)=(\lambda g)[f(x)]=\lambda g[f(x)]=\lambda [(g\circ f)(x)]=[\lambda(g\circ f)](x),$$ y por definición de igualdad de aplicaciones, $(\lambda g)\circ f=\lambda(g\circ f).$ De manera análoga se demuestra que $\lambda(g\circ f)=g\circ(\lambda f).$
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