Tres propiedades de la matriz exponencial

Demostramos tres propiedades de la matriz exponencial.

Enunciado
(a) Demostrar que si $e^{tA}=e^{tB}$ para todo $t$ entonces es $A=B.$

(b) Demostrar que si $A$ es simétrica ($A^T=A$) entonces $e^{tA}$ es simétrica para todo $t.$ Enunciar el recíproco y estudiar su validez.

(c) Demostrar que si $A$ es antisimétrica $(A^T=-A)$) entonces $e^{tA}$ es ortogonal $(M^T=M^{-1})$ para todo $t.$ Enunciar el recíproco y estudiar su validez.

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Aunque no se menciona explícitamente, suponemos que las matrices son reales, cuadradas de orden $n$ y que $t\in\mathbb{R}.$

(a) Usando la conocida propiedad de la derivada de la exponencial:

$e^{tA}=e^{tB}\Rightarrow \dfrac{d}{dt}e^{tA}=\dfrac{d}{dt}e^{tB}\Rightarrow Ae^{tA}=Be^{tB}.$

Particularizando en $t=0$ queda $Ae^0=Be^0,$ es decir $AI=BI$ lo cual implica $A=B.$

(b) Si $A$ es simétrica, por el teorema espectral existe una matriz $P\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ortogonal tal que $A=PDP^T$ con $D=\mbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^{n\times n}.$ Tenemos por una parte:

$(e^{tD})^T=(\mbox{diag}(e^{\lambda_1 t},\ldots,e^{\lambda_n t}))^T=\mbox{diag}(e^{\lambda_1 t},\ldots,e^{\lambda_n t})=e^{tD}.$

Usando éste resultado:

$(e^{tA})^T=(Pe^{tD}P^T)^T=(P^T)^T(e^{tD})^TP^T=Pe^{tD}P^T=e^{tA}.$

Es decir, $e^{tA}$ es simétrica. El enunciado recíproco es: si $e^{tA}$ es simétrica para todo $t,$ entonces $A$ es simétrica. Veamos que es cierto. En efecto, dado que la derivada de la traspuesta es la traspuesta de la derivada:

$\dfrac{d}{dt}(e^{tA})^T=\left(\dfrac{d}{dt}e^{tA}\right)^T=\left(Ae^{tA}\right)^T=\left(e^{tA}\right)^TA^T=e^{tA}A^T.$

Pero al ser $(e^{tA})^T=e^{tA},$ también se verifica:

$\dfrac{d}{dt}(e^{tA})^T=\dfrac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}.$

Por tanto, para todo $t$ tenemos $e^{tA}A^T=Ae^{tA}.$ Particularizando en $t=0$ obtenemos $IA^T=AI$ o equivalentemente $A^T=A.$ La matriz $A$ es en consecuencia simétrica.

(c) Veamos previamente que las matrices $(tA)^T$ y $tA$ conmutan

$(tA)^T(tA)=(tA^T)(tA)=(-tA)(tA)=-t^2A^2,$ $
(tA)(tA)^T=(tA)(tA^T)=(tA)(-tA)=-t^2A^2.$

Sabemos que para $F,G\in\mathbb{R}^{n\times n}$ se cumple $e^{(F^T)}=(e^F)^T$ y además $e^Fe^G=e^{F+G}$ si $FG=GF.$ Entonces

$\left(e^{tA}\right)^T(e^{tA})=e^{(tA)^T}e^{tA}=e^{(tA)^T+tA}=e^{-tA+tA}=e^0=I.$

La matriz $e^{tA}$ es ortogonal para todo $t.$ El enunciado recíproco es: si $e^{tA}$ es ortogonal para todo $t,$ entonces $A$ es antisimétrica. Veamos que es cierto. En efecto, para todo $t:$

$\left(e^{tA}\right)^T=\left(e^{tA}\right)^{-1}\Rightarrow e^{(tA)^T}=e^{-tA}\Rightarrow e^{tA^T}=e^{t(-A)} .$

Del apartado (a) concluimos que $A^T=-A,$ es decir $A$ es antisimétrica.

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