Dependencia e independencia lineal de vectores

Proponemos ejercicios sobre dependencia e independencia lineal de vectores.

TEORÍA

1 En el espacio vectorial usual $\mathbb{R}^2$ analizar si $v_1=(2,-1),\;v_2=(3,2)$ son linealmente independientes.

SOLUCIÓN

2 En el espacio vectorial usual $\mathbb{R}^3$ analizar si  son linealmente independientes los vectores  $v_1=(1,2,-1),\;v_2=(2,-1,-3),\;v_3=(-3,4,5).$

SOLUCIÓN

3 Sean $u,v,w$ vectores linealmente independientes en un espacio vectorial real $E.$ Demostrar que $u+v,u-v,u-2v+w$ también son linealmente independientes.

SOLUCIÓN

4 Sea $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ un polinomio de grado $2.$ Demostrar que  el sistema de vectores $S=\{p(x), p’(x),p^{\prime\prime}(x)\}$ es libre.

SOLUCIÓN

5 En el espacio vectorial real $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ de las funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ demostrar que los siguientes vectores son linealmente independientes los vectores $f(x)=e^{2x},\;g(x)=x^2,\;h(x)=x.$

SOLUCIÓN

6 Demostrar que en todo espacio vectorial cualquier vector no nulo es linealmente independiente.

SOLUCIÓN

7 Demostrar que el sistema $S=\{f_k(x)=\operatorname{sen} kx:k=1,2,\ldots, n\}$ es libre en $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}).$

SOLUCIÓN

8 Demostrar que $S=\{1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots\}$ es un sistema libre en $\mathbb{R}[x].$

SOLUCIÓN

9  Demostrar las siguientes propiedades:
(a) El vector cero no puede pertenecer a un sistema libre.
(b) Todo subsistema de un sistema libre es libre.
(c) Todo supersistema de un sistema ligado es ligado.
(d) Un sistema es ligado si y sólo si existe un vector del sistema que es combinación lineal de los demás.

SOLUCIÓN

10 En el espacio vectorial $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}),$ demostrar que los vectores $f(x)=\operatorname{sen}x,$ $g(x)=\cos x$ y $h(x)=x,$ son linealmente independientes.

SOLUCIÓN

11 Demostrar que las funciones $f_k(x)=x^{\alpha_k}$ ($k=1,\ldots,n$) con $\alpha_{k}\in\mathbb{R},$ y $\alpha_i\neq\alpha_j$ si $i\neq j$, son linealmente independientes.

SOLUCIÓN

12 Se consideran las funciones $$f_k:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f_k(x)=e^{r_k x}$$ con $k=1,\ldots n,$ $r_k\in\mathbb{R}$ y $n\geq 2.$ Demostrar que estas funciones son linealmente independientes $\Leftrightarrow$ $r_i\neq r_j$ para todo $i\neq j.$

SOLUCIÓN

13 Demostrar que la familia infinita $\mathcal{F}=\{f_i(x)=\cos^kx:k=1,2,\ldots\}$ es libre en el espacio vectorial real de las funciones definidas en el intervalo $[0,\pi/2].$

SOLUCIÓN

Bastará demostrar que para cada $n=1,2,\ldots$ la familia finita $\mathcal{F}_n=\{f_1,f_2,\ldots,f_n\}$ es libre. Sea la igualdad $$\lambda_1\cos x+\lambda_2\cos^2x+\cdots+\lambda_n\cos^nx=0\qquad \forall x\in [0,\pi/2].$$ La aplicación $g:[0,\pi/2]\to [0,1]$ dada por $g(x)=t=\cos x$ sabemos que es una biyección, en consecuencia, la igualdad $\lambda_1t+\lambda_2t^2+\cdots+\lambda_nt^n=0$ se ha de verificar para todo $t\in[0,1].$ Queda por tanto una ecuación polinómica con infinitas raíces, lo cual implica que el primer miembro ha de ser el polinomio nulo, es decir $\lambda_1$ $=$ $\lambda_2$ $=$ $\ldots$ $=$ $\lambda_n$ $=$ $0.$

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