Aplicación transpuesta

Proporcionamos ejercicios sobre la aplicación transpuesta.

TEORÍA

1 Se considera la aplicación lineal $D:\mathbb{R}_3[x]\to \mathbb{R}_2[x],$ $D(p)=p’.$ Hallar la matriz de la aplicación transpuesta $D^T$ respecto de las bases duales de la canónicas de $\mathbb{R}_2[x]$ y $\mathbb{R}_3[x].$

SOLUCIÓN

2  Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ $E^*$ y $F^*$ sus duales respectivos y  $f:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que la aplicación transpuesta de $f:$ $$f^T:F^*\to E^*,\quad f^T(y^*)=y^*\circ f.$$ es una aplicación lineal.

SOLUCIÓN

3  Demostrar que la aplicación $\varphi :\mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F)\to \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(F^*,E^*),$  $\varphi (f)=f^T$ es lineal.

SOLUCIÓN

4  Demostrar que si $f\in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F)$ y  $g\in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(F,G)$ entonces, $(g\circ f)^T=f^T\circ g^T.$

SOLUCIÓN

5  Demostrar que si $f\in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,E),$ entonces $(I_E)^T=I_{E^*}.$

SOLUCIÓN

6  Demostrar que si $f\in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F),$ es isomorfismo  también lo es $f^T$ y $\left(f^{-1}\right)^T=\left(f^{T}\right)^{-1}.$

SOLUCIÓN

7 Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo, y $u:\mathbb{K}^2\to \mathbb{K}^2$ la aplicación lineal $u(x,y)=(x-y,x+y).$ Hallar $u^T(f)$ siendo $f$ la forma lineal dada por $f(x,y)=ax+by$ con $a,b\in\mathbb{K}.$

SOLUCIÓN

8 Sea $f:\mathbb{R}_n[x] \to\mathbb{R}$ la forma  lineal $f(p)=\int_{a}^{b}p(x)dx$ con $a,b\in\mathbb{R}.$ Sea $D$ el operador derivación sobre $\mathbb{R}_n[x]$ Calcular $D^T(f).$

SOLUCIÓN

9 Dada $T\in\left(\mathbb{R}^2\right)^*,$ comprobar que $\overline{T}$ pertenece a $\left(\mathbb{R}^3\right)^*,$ donde $\overline{T}$ viene definida por $$\overline{T}(x,y,z)=T(x+y,x+y-z).$$ Definamos ahora $\varphi: \left(\mathbb{R}^2\right)^*\to \left(\mathbb{R}^3\right)^*,$ $\varphi (T)=\overline{T}.$

Demostrar que $\varphi$ es lineal y calcular la matriz asociada a $\varphi$ con respecto de las bases duales de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3.$

SOLUCIÓN
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