Aplicación transpuesta

Proporcionamos ejercicios sobre la aplicación transpuesta.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Se considera la aplicación lineal $D:\mathbb{R}_3[x]\to \mathbb{R}_2[x],$ $D(p)=p’.$ Hallar la matriz de la aplicación transpuesta $D^T$ respecto de las bases duales de la canónicas de $\mathbb{R}_2[x]$ y $\mathbb{R}_3[x].$
  2. Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ $E^*$ y $F^*$ sus duales respectivos y $f:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que la aplicación transpuesta de $f:$ $$f^T:F^*\to E^*,\quad f^T(y^*)=y^*\circ f.$$ es una aplicación lineal.
  3. Demostrar que la aplicación $\varphi :\mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F)\to \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(F^*,E^*),$ $\varphi (f)=f^T$ es lineal.
  4. Demostrar que si $f\in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F)$ y $g\in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(F,G)$ entonces, $(g\circ f)^T=f^T\circ g^T.$
  5. Demostrar que si $f\in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,E),$ entonces $(I_E)^T=I_{E^*}.$
  6. Demostrar que si $f\in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F),$ es isomorfismo también lo es $f^T$ y $\left(f^{-1}\right)^T=\left(f^{T}\right)^{-1}.$
  7. Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo, y $u:\mathbb{K}^2\to \mathbb{K}^2$ la aplicación lineal $u(x,y)=(x-y,x+y).$ Hallar $u^T(f)$ siendo $f$ la forma lineal dada por $f(x,y)=ax+by$ con $a,b\in\mathbb{K}.$
  8. Sea $f:\mathbb{R}_n[x] \to\mathbb{R}$ la forma lineal $f(p)=\int_{a}^{b}p(x)dx$ con $a,b\in\mathbb{R}.$ Sea $D$ el operador derivación sobre $\mathbb{R}_n[x]$ Calcular $D^T(f).$
  9. Dada $T\in\left(\mathbb{R}^2\right)^*,$ comprobar que $\overline{T}$ pertenece a $\left(\mathbb{R}^3\right)^*,$ donde $\overline{T}$ viene definida por $$\overline{T}(x,y,z)=T(x+y,x+y-z).$$ Definamos ahora $\varphi: \left(\mathbb{R}^2\right)^*\to \left(\mathbb{R}^3\right)^*,$ $\varphi (T)=\overline{T}.$
    Demostrar que $\varphi$ es lineal y calcular la matriz asociada a $\varphi$ con respecto de las bases duales de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3.$
    Solución
  1. Llamemos $B_1$ y $B_2$ a las bases canónicas de $\mathbb{R}_3[x]$ y $\mathbb{R}_2[x]$ respectivamente: $$B_1=\{1,x,x^2,x^3\},\quad B_2=\{1,x,x^2\}.$$ Tenemos: $D(1)=0,$ $D(x)=1,$ $D(x^2)=2x,$ $D(x^3)=3x^2.$ Trasponiendo coeficientes, $$\left[D\right]_{B_1}^{B_2}=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}& 0\\{0}&{0}&{2}& 0\\{0}&{0}&{0}& 3\end{bmatrix},$$ por tanto la matriz pedida es la traspuesta de la anterior: $$\left[D^T\right]_{B_2^*}^{B_1^*}=\left(\left[D\right]_{B_1}^{B_2}\right)^T=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&{3}\end{bmatrix}.$$
  2. Dado que $f:E\to F$ e $y^*:F\to \mathbb{K}$ son lineales, la composición $y^*\circ f:E\to \mathbb{K}$ es lineal. Es decir, $f^T(y^*)\in E^*$ y por tanto la aplicación $f^T$ está bien definida. Veamos que es lineal.
    $(i)$ Para todo $y^*,z^*\in F^*$ y para todo $x\in E:$ $$\left[f^T(y^*+z^*)\right](x)=\left[(y^*+z^*)\circ f\right](x)=\left[y^*\circ f+z^*\circ f\right](x)=$$ $$(y^*\circ f)(x)+(z^*\circ f)(x)=\left[f^T(y^*)\right](x)+\left[f^T(z^*)\right](x)=\left[f^T(y^*)+f^T(z^*)\right](x),$$ y por definición de igualdad de funciones, $f^T(y^*+z^*)=f^T(y^*)+f^T(z^*).$
    $(ii)$ Para todo $\lambda \in\mathbb{K},$ para todo $y^*\in F^*$ y para todo $x\in E:$ $$\left[f^T(\lambda y^*)\right](x)=\left[(\lambda y^*)\circ f\right](x)=\left[\lambda (y^*\circ f)\right](x)=\left[\lambda f^T(y^*)\right](x),$$ y por definición de igualdad de funciones, $f^T(\lambda y^*)=\lambda f^T(y^*).$ Concluimos que $f^T$ es lineal.
  3. Dado que $f^T:F^*\to E^*$ es lineal, $f^T\in\mathcal{L}_{\mathbb{K}}(F^*,E^*) $ es decir, la aplicación $\varphi$ está bien definida.

    $(i)$ Para todo $f,g\in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F)$ y para todo $y^*\in F^*:$ $$[\varphi (f+g)](y^*)=[(f+g)^T](y^*)=y^*\circ (f+g)=y^*\circ f+y^*\circ g$$ $$=f^T(y^*)+g^T(y^*)=[\varphi (f)](y^*)+[\varphi (g)](y^*)=[\varphi (f)+\varphi (g)](y^*),$$ y por definición de igualdad de aplicaciones, $\varphi (f+g)=\varphi (f)+\varphi (g).$

    $(ii)$ Para todo $\lambda\in\mathbb{K},$ para todo $f\in \mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,F)$ y para todo $y^*\in F^*:$ $$[\varphi (\lambda f)](y^*)=[(\lambda f)^T](y^*)=y^*\circ (\lambda f)=\lambda (y^*\circ f)$$ $$=\lambda f^T(y^*)=[\lambda f^T](y^*)=[\lambda \varphi (f)](y^*)$$ y por definición de igualdad de aplicaciones, $\varphi (\lambda f)=\lambda \varphi (f).$ Concluimos que $\varphi$ es lineal.

  4. Para todo $z^*\in G^*:$ $$(g\circ f)^T(z^*)=z^*\circ(g\circ f)=(z^*\circ g)\circ f$$ $$=g^T(z^*)\circ f=f^T[g^T(z^*)]=(f^T\circ g^T)(z^*),$$ y por definición de igualdad de aplicaciones, $(g\circ f)^T=f^T\circ g^T.$
  5. Para todo $y^*\in E^*$ se verifica $(I_E)^T(y^*)=y^*\circ I_E=y^*=I_{E^*}(y^*),$
    y por definición de igualdad de aplicaciones, $(I_E)^T=I_{E^*}.$
  6. Si $f$ es un isomorfismo de $E$ sobre $F,$ $f^{-1}$ es un isomorfismo de $F$ sobre $E$ y se verifica $f^{-1}\circ f=I_E,$ $f\circ f^{-1}=I_F.$ Tomando transpuestas: $$f^T\circ (f^{-1})^T=I_{E^*},\quad (f^{-1})^T\circ f^T=I_{F^*}.$$ En consecuencia, $f^T$ es invertible y $(f^{-1})^T=(f^{T})^{-1}.$
  7. Por definición de aplicación transpuesta: $$u^T(f)(x,y)=(f\circ u)(x,y)=f[u(x,y)]=f(x-y,x+y)$$ $$=a(x-y)+b(x+y)=(a+b)x+(b-a)y.$$
  8. Por definición de aplicación transpuesta $$D^T(f)(p)=(f\circ D)(p)=f[D(p)]=f[p'(x)]$$ $$=\int_{a}^{b}p’(x)\;dx=[p(x)]_a^b=p(b)-p(a).$$
  9. Por hipótesis, $T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ es lineal. Definamos la aplicación lineal $$f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2,\quad f(x,y,z)=(x+y,x+y-z).$$ Entonces, $(T\circ f)(x.y,z)=T\left(f(x,y,z)\right)=T(x+y,x+y-z),$ por tanto $\overline{T}=T\circ f$ y la composición de aplicaciones lineales es lineal, lo cual implica que $\overline{T}\in \left(\mathbb{R}^3\right)^*.$
    Para todo $\lambda,\mu \in\mathbb{R},$ para todo $T_1,$ $T_2\in\left(\mathbb{R}^2\right)^*,$ y aplicando conocidas propiedades de la composición: $$\varphi (\lambda T_1+\mu T_2)=(\lambda T_1+\mu T_2)\circ f$$ $$=\lambda (T_1\circ f)+\mu (T_2\circ f)=\lambda \varphi (T_1)+\mu \varphi (T_2),$$ luego $\varphi$ es lineal.
    Observemos que la aplicación dada $\varphi$ es justamente la traspuesta de la $f,$ por tanto la matriz de $\varphi=f^T$ en las duales de las canónicas es la traspuesta de la de $f$ en las canónicas. Ahora bien, $$f\begin{bmatrix}x\\y\\ z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{0}\\{1}&{1}&{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\ z\end{bmatrix},$$ luego la matriz pedida es: $$\begin{bmatrix}{1}&{1}&{0}\\{1}&{1}&{-1}\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{1}&{1}\\ 0 & -1\end{bmatrix}\;.$$
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