Una matriz normal

Enunciado
Sea $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ una matriz normal, es decir $AA^*=A^*A$ ($A^*=\bar{A^{\;t}},$ traspuesta de la conjugada de $A$).

a) Demostrar que $\forall x\in \mathbb{C}^n$ es $ \left\|{Ax}\right\|_2= \left\|{A^*x}\right\|_2.$

b) Sea $\lambda\in \mathbb{C},$ estudiar si la matriz $A-\lambda I$ es normal razonando la respuesta. Sea ahora $\lambda$ un valor propio de $A,$ estudiar si $\bar{\lambda}$ es valor propio de $A^*,$ razonando la respuesta.

c) Sean $\lambda$ y $\mu$ dos valores propios distintos de $A.$ Sean $u$ y $v$ dos vectores propios de $A$ asociados a $\lambda$ y $\mu$ respectivamente. Estudiar si $u$ y $v$ son siempre ortogonales, razonando la respuesta.

(Propuesto en examen de Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
a) Usando las definiciones de norma euclídea, producto escalar, conocidas propiedades del operador ${}^*,$ y que $A$ es normal:

$\left\|A^*x\right\|_2^2=\left<A^*x,A^*x\right>=(A^*x)^*(A^*x)=x^*(A^*)^*A^*x$ $=x^*AA^*x
=x^*A^*Ax=(Ax)^*(Ax)=\left<Ax,Ax\right>=\left\|Ax\right\|_2^2.$

Es decir, $ \left\|{Ax}\right\|_2= \left\|{A^*x}\right\|_2.$

b) Desarrollando $(A-\lambda I)^*(A-\lambda I)$ y $(A-\lambda I)(A-\lambda I)^*:$

$(A-\lambda I)^*(A-\lambda I)=(A^*-\bar{\lambda}I)(A-\lambda I)=A^*A-\bar{\lambda}A-\lambda A^*+|\lambda|^2I,$ $
(A-\lambda I)(A-\lambda I)^*=(A-\lambda I)(A^*-\bar{\lambda}I)=AA^*-\lambda A^*-\bar{\lambda}A+|\lambda|^2I.$

Dado que $AA^*=A^*A,$ deducimos que $(A-\lambda I)^*(A-\lambda I)=(A-\lambda I)(A-\lambda I)^*$ y por tanto la matriz $A-\lambda I$ es normal.

Si $\lambda$ es valor propio de $A$ entonces existe un vector $w\in\mathbb{C}^n$ no nulo tal que $Aw=\lambda w$ o de forma equivalente, $(A-\lambda I)w=0.$ Como $A-\lambda I$ es normal, usando el apartado a):

$0=\left\|{(A-\lambda I)w}\right\|_2= \left\|{(A-\lambda I)^*w}\right\|_2.$

Deducimos que $0=(A-\lambda I)^*w=(A^*-\bar{\lambda}I)w$ o equivalentemente que $A^*=\bar{\lambda}w$ con $w\neq 0.$ Por tanto, $\bar{\lambda}$ es valor propio de $A^*.$

c) Por hipótesis $Au=\lambda u$ y $Av=\mu v.$ Multiplicando por $v^*$ en la primera igualdad obtenemos $v^*Au=\lambda v^*u$ y tomando ${}^*$ en ambos miembros, $u^*A^*v=\bar{\lambda}u^*v.$ Ahora bien, por el apartado b) se verifica $A^*v=\bar{\mu}v$ y por tanto:

$u^*\bar{\mu}v=\bar{\lambda}u^*v\Rightarrow (\bar{\lambda}-\bar{\mu})u^*v=0\Rightarrow (\bar{\lambda}-\bar{\mu})\left<{u,v}\right>=0.$

Como $\lambda\neq \mu,$ también $\bar{\lambda}\neq \bar{\mu}$ y ha de ser $\left<{u,v}\right>=0.$ Los vectores $u$ y $v$ son ortogonales.

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