Concepto de serie numérica real

Definimos el concepto de serie numérica real.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Dada la serie $\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{5}{2^3}+\dfrac{7}{2^4}+\cdots,$ hallar el término enésimo y escribirla en forma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n.$
  2. Dada la serie $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}\cdots,$ hallar el término enésimo, escribirla en forma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y hallar la suma parcial enésima $S_n.$
    Solución
  1. Claramente, el término enésimo es $u_n=\dfrac{2n-1}{2^n},$ por tanto podemos escribir la serie en la forma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2n-1}{2^n}.$
  2. Claramente, el término enésimo es $u_n=\dfrac{1}{4^n},$ por tanto podemos escribir la serie en forma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{4^n}.$ Usando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica: $$S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots +\dfrac{1}{4^n}$$ $$=\frac{(1/4)\left((1/4)^n-1\right)}{1/4-1}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right).$$
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