Convergencia y divergencia de series numéricas

TEORÍA

1 Aplicar a las siguientes series el teorema de la condición necesaria de convergencia

$a)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{3n+5}{7n+2}.\;$ $b)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n}.\;$  $c)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{3^n}.\;$  $d)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}5.\;$ $e)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos n.$

SOLUCIÓN

2  Demostrar el teorema de la condición necesaria para la convergencia de una serie, es decir si  $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente, entonces $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=0.$

SOLUCIÓN

3  Sea $p>0$ un entero. Demostrar que la serie $u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots$ es convergente si, y sólo si  la serie $u_{p+1}+u_{p+2}+\cdots +u_{n+p}+\cdots$ es convergente.

SOLUCIÓN

4 Calcular la suma de una serie cuyas sumas parciales son $$S_n=\dfrac{4n^3-3n^2+6}{3n^3+6n+2}.$$

SOLUCIÓN

5 Demostrar que la suma de una serie convergente y una divergente, es divergente.

SOLUCIÓN

6 Hallar la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\log\cos \frac{1}{2^n}.$
Sugerencia. Usar la fórmula $\operatorname{sen}2a=2\operatorname{sen}a\cos a.$

SOLUCIÓN

7 Calcular $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$ usando la definición de suma de una serie.

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.