Esquemas de asociación de series

Proporcionamos ejemplos sobre esquemas de asociación de series.

RESUMEN TEÒRICO
    Enunciado
  1. Se considera la serie $1+(-1)+1+(-1)+\cdots.$
    $a)$ Demostrar que no tiene suma.
    $b)$ Aplicar un esquema de asociación de términos a la serie anterior, para obtener una serie que tenga suma.
  2. Se considera la serie $$1+(-2)+2+(-3)+3+(-4)+4+\cdots.$$ $a)$ Demostrar que no tiene suma.
    $b)$ Aplicar dos esquema de asociación de términos a la serie anterior, uno para obtener una serie con suma $-\infty$ y otro para obtener una serie convergente con suma con suma $1$.
  3. Sea $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ una serie con suma $S$ (finita o no). Demostrar que cualquier esquema de asociación de términos en paquetes finitos aplicada a dicha serie da lugar a una nueva serie con la misma suma $S.$
    Solución
  1. $a)$ La sucesión de las sumas parciales enésimas es: $$S_1=1,\;S_2=0,\;S_3=1,\;S_4=0,\;\ldots,$$ por tanto no existe $\lim_{n\to +\infty}S_n,$ es decir la serie no tiene suma.
    $b)$ Si aplicamos el siguiente esquema de asociación: $$\left(1+(-1)\right)+\left(1+(-1)\right)+\left(1+(-1)\right)+\cdots,$$ obtenemos la serie $0+0+0+0+\cdots,$ que claramente es convergente con suma $S=0.$
  2. $a)$ La sucesión de las sumas parciales enésimas es: $$S_1=1,\;S_2=-1,\;S_3=1,\;S_4=-2,\;S_5=1,\;S_6=-3,\;S_7=1\;\ldots,$$ por tanto no existe $\lim_{n\to +\infty}S_n,$ es decir la serie no tiene suma.
    $b)$ Si aplicamos el siguiente esquema de asociación: $$\left(1-2\right)+\left(2-3\right)+\left(3-4\right)+(4-5)+\cdots,$$ obtenemos la serie $(-1)+(-1)+(-1)+\cdots,$ que claramente es divergente con suma $S=-\infty.$
    Para el esquema de asociación $$1+(-2+2)+(-3+3)+(-4+4)+\cdots,$$ obtenemos la serie $1+0+0+\cdots,$ que claramente es convergente con suma $S=1.$
  3. Sea $\varphi (n)$ un esquema de asociación de términos en paquetes finitos. Es claro que $S_{\varphi (n)}$ es una subsucesión de $S_n,$ por tanto tendrá como límite $S.$
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