Esquemas de asociación de series

Proporcionamos ejemplos sobre esquemas de asociación de series.

RESUMEN TEÒRICO
  • Definición.  Dada una serie $u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots,$ un esquema de asociación de términos en paquetes finitos viene dada por $$\left(u_1+\cdots+u_{\varphi (1)}\right)+\left(u_{\varphi (1)+1}+\cdots+u_{\varphi (2)}\right)+\cdots$$ en donde $1\leq\varphi(1)<\varphi(2)<\varphi(3)<\ldots,$ y $\varphi (n)$ es número natural para todo $n.$
  • Ejemplo. Si $\varphi(1)=2,$ $\varphi(2)=6,$ $\varphi (3)=9,$ el esquema de asociación empezaría en la forma: $$\left(u_1+u_{2}\right)+\left(u_3+u_{4}+u_5+u_6\right)+\left(u_7+u_{8}+u_9\right)+\ldots,$$ lo cual daría lugar a la nueva serie $v_1+v_2+\cdots +v_n+\cdots,$ siendo $$v_1=u_1+u_{2},\;v_2=u_3+u_{4}+u_5+u_6,\;v_3=u_7+u_{8}+u_9,\;\ldots\;.$$
  • Teorema. Sea $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ una serie con suma $S$ (finita o no). Entonces, cualquier esquema de asociación de términos en paquetes finitos aplicada a dicha serie da lugar a una nueva serie con la misma suma $S.$
  • Nota. Sin embargo, para una serie sin suma, puede haber esquemas de asociación que den lugar a series con suma.
    Enunciado
  1. Se considera la serie $1+(-1)+1+(-1)+\cdots.$
    $a)$ Demostrar que no tiene suma.
    $b)$ Aplicar un esquema de asociación de términos a la serie anterior, para obtener una serie que tenga suma.
  2. Se considera la serie $$1+(-2)+2+(-3)+3+(-4)+4+\cdots.$$ $a)$ Demostrar que no tiene suma.
    $b)$ Aplicar dos esquema de asociación de términos a la serie anterior, uno para obtener una serie con suma $-\infty$ y otro para obtener una serie convergente con suma con suma $1$.
  3. Sea $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ una serie con suma $S$ (finita o no). Demostrar que cualquier esquema de asociación de términos en paquetes finitos aplicada a dicha serie da lugar a una nueva serie con la misma suma $S.$
    Solución
  1. $a)$ La sucesión de las sumas parciales enésimas es: $$S_1=1,\;S_2=0,\;S_3=1,\;S_4=0,\;\ldots,$$ por tanto no existe $\lim_{n\to +\infty}S_n,$ es decir la serie no tiene suma.
    $b)$ Si aplicamos el siguiente esquema de asociación: $$\left(1+(-1)\right)+\left(1+(-1)\right)+\left(1+(-1)\right)+\cdots,$$ obtenemos la serie $0+0+0+0+\cdots,$ que claramente es convergente con suma $S=0.$
  2. $a)$ La sucesión de las sumas parciales enésimas es: $$S_1=1,\;S_2=-1,\;S_3=1,\;S_4=-2,\;S_5=1,\;S_6=-3,\;S_7=1\;\ldots,$$ por tanto no existe $\lim_{n\to +\infty}S_n,$ es decir la serie no tiene suma.
    $b)$ Si aplicamos el siguiente esquema de asociación: $$\left(1-2\right)+\left(2-3\right)+\left(3-4\right)+(4-5)+\cdots,$$ obtenemos la serie $(-1)+(-1)+(-1)+\cdots,$ que claramente es divergente con suma $S=-\infty.$
    Para el esquema de asociación $$1+(-2+2)+(-3+3)+(-4+4)+\cdots,$$ obtenemos la serie $1+0+0+\cdots,$ que claramente es convergente con suma $S=1.$
  3. Sea $\varphi (n)$ un esquema de asociación de términos en paquetes finitos. Es claro que $S_{\varphi (n)}$ es una subsucesión de $S_n,$ por tanto tendrá como límite $S.$
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