Raíz cuádruple según parámetros

Determinamos las condiciones que han de cumplir los parámetros de un polinomio para que admita una raíz cuádruple.

Enunciado
Determinar $m,n,p\in\mathbb{R}$ para que el polinomio $f(x)=x^6+mx^4+10x^3+nx+p$ admita una raíz cuádruple.

Solución
Si $x$ es una raíz cuádruple, ha de verificar $f(x)=f’(x)=f”(x)=f”’(x)=0,$ es decir

$\left \{ \begin{matrix}6x^5+4mx^3+30x^2+n=0\\30x^4+12mx^2+60x=0\\120x^3+24mx+60=0\end{matrix}\right.\mbox{ o bien }\left \{ \begin{matrix}6x^5+4mx^3+30x^2+n=0\\5x^4+2mx^2+10x=0\\10x^3+2mx+5=0.\end{matrix}\right.$

No puede ser $x=0$ pues no verifica la tercera ecuación. Dividiendo la segunda ecuación entre $x:$

$\left \{ \begin{matrix}5x^3+2mx+10=0\\10x^3+2mx+5=0\end{matrix}\right. \Rightarrow 5x^3-5x=0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{1}.$

Los únicos posibles valores de $x$ son por tanto $x=1$ o cualquiera de las otras dos raíces cúbicas $\omega, \bar{\omega}$ no reales de la unidad. Esto último no puede ser, pues al tener $f(x)$ coeficientes reales, si tiene una raíz también tiene la conjugada y $f(x)$ sería de grado $8.$ Concluimos que la única posible raíz cuádruple de $f(x)$ es $x=1.$ Entonces:

$\left \{ \begin{matrix}f(1)=0\\f’(1)=0\\f”(1)=0\\f”’(1)=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}1+m+10+n+p=0\\6+4m+30+n=0\\5+2m+10=0\\10+2m+5=0.\end{matrix}\right.$

Resolviendo el sistema anterior, obtenemos $m=-15/2,n=-6,p=5/2.$

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