Circulación de un campo y producto mixto

Enunciado
Dados tres vectores $\vec{a},\vec{b}$ y $\vec{c}$ de $\mathbb{R}^3$ se considera el campo vectorial $F(\vec{r})=\vec{a}\times \vec{r}$ con $\vec{r}\in \mathbb{R}^3$ y la curva cerrada $\gamma: [0,2\pi]\to \mathbb{R}^3$ dada por $\gamma (\theta)=\vec{b}\cos \theta+\vec{c}\sin \theta$. Calcular la circulación del campo $F$ sobre $\gamma$ y deducir la condición que han de cumplir los vectores $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ para que la circulación se anule.

 (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
La circulación es $C=\int_{\gamma}F(\vec{r})\cdot d\vec{r}.$ Desarrollemos $F(\vec{r})\cdot d\vec{r}:$

$F(\vec{r})\cdot d\vec{r}=(\vec{a}\times \vec{r})\cdot (-\vec{b}\sin \theta+\vec{c}\cos \theta)\;d\theta$ $=
\left(\vec{a}\times (\vec{b}\cos \theta+\vec{c}\sin \theta)\right)\cdot (-\vec{b}\sin \theta+\vec{c}\cos \theta)\;d\theta$ $=
\left((\vec{a}\times \vec{b})\cos \theta+(\vec{a}\times \vec{c})\sin \theta)\right)\cdot (-\vec{b}\sin \theta+\vec{c}\cos \theta)\;d\theta$ $=
\left(-(\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec{b}\sin^2\theta+(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}\cos^2\theta\right)\;d\theta$ $=
\left((\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}\;\right)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\;d\theta=[\;\vec{a},\vec{b},\vec{c}\;]\;d\theta .$

Por tanto

$C=\displaystyle\int_{\gamma}F(\vec{r})\cdot d\vec{r}=\displaystyle\int_0^{2\pi} [\;\vec{a},\vec{b},\vec{c}\;]\;d\theta=2\pi [\;\vec{a},\vec{b},\vec{c}\;].$

La circulación es nula cuando el producto mixto $[\;\vec{a},\vec{b},\vec{c}\;]$ es nulo, es decir cuando los vectores $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ son coplanarios.

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