Rango de una matriz. Dependencia lineal en $\mathbb{K}^n$

Proponemos ejercicios sobre rango de una matriz y dependencia lineal en $\mathbb{K}^n.$

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Hallar el rango de la matriz $A=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}&2\\{4}&{1}&{0}&2\\{2}&{-3}&{2}&-2\\ 1&0&-1&3\\2&1&2&-4\end{bmatrix}\;.$
  2. Demostrar que los siguientes vectores de $\mathbb{R}^4$ son linealmente independientes $$(1,3,-2,5),\;(4,2,7,-3),\;(2,7,-5,4),\;(-3,2,-2,7).$$
    Solución
  1. Escalonemos $A.$ $$\begin{bmatrix}{\boxed{1}}&{2}&{-1}&2\\{4}&{1}&{0}&2\\{2}&{-3}&{2}&-2\\ 1&0&-1&3\\2&1&2&-4\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim \\F_2-4F_1\\F_3-2F_1\\F_4-F_1\\F_5-2F_1\end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}&2\\{0}&{\boxed{-7}}&{4}&-6\\{0}&{-7}&{4}&-6\\ 0&-2&0&1\\0&-3&4&-8\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim \\F_3-F_2\\7F_4-2F_2\\7F_5-3F_2\end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}&2\\{0}&{-7}&{4}&-6\\{0}&{0}&{0}&0\\ 0&0&-8&19\\0&0&16&-38\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim \\F_3\leftrightarrow F_5 \end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}&2\\{0}&{-7}&{4}&-6\\{0}&{0}&{\boxed{16}}&-38\\ 0&0&-8&19\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim \\2F_4+F_3 \end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}&2\\{0}&{-7}&{4}&-6\\{0}&{0}&{16}&-38\\ 0&0&-8&19\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{matrix}\sim \\2F_4+F_3 \end{matrix}$$ $$\begin{bmatrix}{\boxed1}&{2}&{-1}&2\\{0}&{\boxed{-7}}&{4}&-6\\{0}&{0}&{\boxed{16}}&-38\\ 0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\;.$$ Claramente el rango de la matriz escalonada es $3,$ por tanto $\text{rg }A=3.$
  2. Bastará demostrar que el rango de la matriz $$A=\begin{bmatrix}
    1 & 3 & -2 & 5 \\
    4 & 2 & 7 & -3 \\
    2 & 7 & -5 & 4 \\
    -3 & 2 & -2 & 7
    \end{bmatrix}$$ es $4.$ Dado que la matriz es cuadrada, bastará demostrar que $\det A\neq 0.$ Efectuando las transformaciones $F_2-4F_1,$ $F_3-2F_1,$ $F_3+3F_1:$ $$\det A=\begin{vmatrix}
    1 & 3 & -2 & 5 \\
    0 & -10 & 15 & -23 \\
    0 & 1 & -1 & -6 \\
    0 & 11 & -8 & 22
    \end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}
    -10 & 15 & -23 \\
    1 & -1 & -6 \\
    11 & -8 & 22
    \end{vmatrix}=-689\neq 0. $$
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.