Series de términos positivos

Proporcionamos ejercicios sobre eries de términos positivos.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Analizar el carácter de las series:
    $a)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.\quad b)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}.\quad c)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}n^2.\quad d)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{n^4}-\frac{7}{n\sqrt{n}}\right).$
  2. Usando el criterio de comparación por cociente, analizar el carácter de las series:
    $a)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+n-1}{3n^4+n^3-2}.\quad b)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt[3]{n}+2\sqrt[4]{n}+1}{2n+5\sqrt{n}+6}.$
  3. Usando el criterio de las series mayorante y minoramte, analizar el carácter de las series:
    $a)\; 1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots.\quad b)\;1+\dfrac{2^2+1}{2^3+1}+\dfrac{3^2+1}{3^3+1}+\dfrac{4^2+1}{4^3+1}+\cdots .$
  4. Demostrar que toda serie de términos positivos tiene siempre una suma y que esta suma es finita, si y sólo si las sumas parciales estén acotadas.
  5. Sean $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ dos series de términos positivos con $u_n\leq v_n$ para todo $n.$ Demostrar que:
    $a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}u_n\text{ es divergente}\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}v_n\text{ es divergente}.$
    $b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}v_n\text{ es convergente}\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}u_n\text{ es convergente}.$
  6. Sean $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ dos series de términos positivos tales que existe $L=\lim_{n\to +\infty}(u_n/v_n).$ Demostrar el criterio de comparación por cociente, es decir:
    $i)$ Si $L\neq 0$ y finito, ambas series tienen el mismo carácter.
    $ii)$ Si $L=0$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ es convergente, entonces $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente.
    $iii)$ Si $L=+\infty$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ es divergente, entonces $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es divergente.
  7. Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{n+3}\right).$
    Solución
  1. $a)$ Es serie de Riemann con $p=2>1,$ por tanto es convergente.
    $b)$ Es serie de Riemann con $p=1/3\leq1,$ por tanto es divergente.
    $c)$ Es serie de Riemann con $p=-2\leq1,$ por tanto es divergente.
    $d)$ La series $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}$ y $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n\sqrt{n}}$ son series de Riemann con $p=4>1$ y $p=3/2>1$ respectivamente, por tanto convergentes. Por el teorema del álgebra de series, concluimos que la serie dada es convergente.
  2. $a)$ La serie es de términos positivos y su término enésimo es función racional en $n.$ La diferencia entre el grado del denominador y del numerador es $2.$ Comparamos con la serie de término general $1/n^2:$ $$\lim_{n\to +\infty}\frac{2n^2+n-1}{3n^4+n^3-2}:\frac{1}{n^2}=\frac{2}{3}\neq 0.$$ La serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ es convergente, luego también lo es $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+n-1}{3n^4+n^3-2}$ como consecuencia del criterio de comparación por cociente.
    $b)$ La serie es de términos positivos y la podemos expresar en la forma: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{1/3}+2n^{1/4}+1}{2n+5n^{1/2}+6}.$$ La diferencia entre la mayor potencia del denominador y del numerador es $1-1/3=2/3.$ Comparamos con la serie de término general $1/n^{2/3}:$ $$\lim_{n\to +\infty}\frac{n^{1/3}+2n^{1/4}+1}{2n+5n^{1/2}+6}:\frac{1}{n^{2/3}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n+2n^{11/12}+n^{2/3}}{2n+5n^{1/2}+6}=\frac{1}{2}\neq 0.$$ La serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2/3}}$ es divergente, luego también lo es $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt[3]{n}+2\sqrt[4]{n}+1}{2n+5\sqrt{n}+6}$ como consecuencia del criterio de comparación por cociente.
  3. $a)$ La serie es de términos positivos. Como $n!\geq 2^{n-1},$ $\dfrac{1}{n!}\leq \dfrac{1}{2^{n-1}}.$ Por tanto, la serie dada es término a término menor o igual que la geométrica $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots,$$ y esta última es convergente, luego también lo es la serie dada.
    $b)$ La serie es de términos positivos. Como $n(n^2+1)=n^3+n\geq n^3+1,$ $\dfrac{n^2+1}{n^3+1}\geq \dfrac{1}{n}.$ Por tanto, la serie dada es término a término mayor o igual que la armónica (que es de términos positivos), $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$$ y esta última es divergente, luego también lo es la serie dada.
  4. Si una serie es de términos positivos, la sucesión de sumas parciales $S_n$ es creciente. Si está acotada, sabemos por teoría de sucesiones que $S_n$ tiene límite finito $S.$ Si $S_n$ no está acotada, para todo $K>0$ existe $n_0$ natural con $S_{n_0}\geq K$ y al ser $S_n$ creciente, $S_n\geq K$ para todo $n\geq n_0,$ lo cual implica que $S_n\to +\infty.$
  5. Llamemos $S_n$ y $S’_n$ a las sumas parciales de las series $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ respectivamente. Evidentemente, $S_n\leq S’_n$ para todo $n.$
    $a)$ Si $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es divergente, $S_n\to +\infty$ con lo cual la sucesión $S_n$ no está acotada y como consecuencia tampoco lo está $S’_n,$ luego $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ es divergente.
    $b)$ Si $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ es convergente, $S’_n$ tiene límite finito con lo cual la sucesión $S’_n$ está acotada y como consecuencia también lo está $S_n,$ luego $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente.
  6. $i)$ Si $L\neq 0,$ ha de ser necesariamente $L>0.$ Eligiendo $\epsilon =L/2,$ existe $n_0$ natural tal que $\left|u_n/v_n-L\right|<L/2$ si $n\geq n_0.$ De forma equivalente, $$\frac{L}{2}<\frac{u_n}{v_n}<\frac{3L}{2}\text{ si }n\geq n_0.$$ Si $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ es convergente, entonces $\sum_{n=1}^{+\infty}(3L/2)v_n$ es convergente (álgebra de series). Como $u_n<(3L/2)v_n$ para todo $n\geq n_0$ se deduce (criterio de comparación), que $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente.
    Si $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente, entonces $\sum_{n=1}^{+\infty}(2/L)u_n$ es convergente (álgebra de series). Como $v_n<(2/L)u_n$ para todo $n\geq n_0$ se deduce (criterio de comparación), que $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ es convergente.
    Hemos demostrado que $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente si, y sólo si $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ es convergente, o equivalentemente que ambas series tienen el mismo carácter.
    $ii)$ Si $L=0,$ para $\epsilon=1$ existe $n_0$ natural tal que $u_n/v_n<1$ si $n\geq n_0.$ Es decir $u_n<v_n$ si $n\geq n_0.$ Entonces, si $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ es convergente, también lo es $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ (criterio de comparación).
    $iii)$ Si $L=+\infty,$ para $K=1$ existe $n_0$ natural tal que $u_n/v_n>1$ si $n\geq n_0.$ Es decir $u_n>v_n$ si $n\geq n_0.$ Entonces, si $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ es divergente, también lo es $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ (criterio de comparación).
  7. La expresión $S_n=\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{n+3} $ es la suma parcial enésima de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n+3},$ por tanto $L$ es la suma de tal serie, que es de términos positivos. Si la comparamos por cociente con $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},$ deducimos que es divergente y por tanto $L=+\infty.$
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