Series de términos positivos

TEORÍA

1 Analizar el carácter de las series:
$a)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.\quad b)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}.\quad c)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}n^2.\quad d)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{n^4}-\frac{7}{n\sqrt{n}}\right).$

SOLUCIÓN

2 Usando el criterio de comparación por cociente, analizar el carácter de las series:
$a)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+n-1}{3n^4+n^3-2}.\quad b)\; \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sqrt[3]{n}+2\sqrt[4]{n}+1}{2n+5\sqrt{n}+6}.$

SOLUCIÓN

3 Usando el criterio de las series mayorante y minoramte, analizar el carácter de las series:
$a)\; 1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots.\quad b)\;1+\dfrac{2^2+1}{2^3+1}+\dfrac{3^2+1}{3^3+1}+\dfrac{4^2+1}{4^3+1}+\cdots .$

SOLUCIÓN

4  Demostrar que toda serie de términos positivos tiene siempre una suma y que esta suma es finita, si y sólo si las sumas parciales estén acotadas.

SOLUCIÓN

5  Sean $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ dos series de términos positivos con $u_n\leq v_n$ para todo $n.$ Demostrar que:

$a)\;\sum_{n=1}^{+\infty}u_n\text{ es divergente}\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}v_n\text{ es divergente}.$
$b)\;\sum_{n=1}^{+\infty}v_n\text{ es convergente}\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}u_n\text{ es convergente}.$

SOLUCIÓN

6  Sean $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ dos series de términos positivos tales que existe $L=\lim_{n\to +\infty}(u_n/v_n).$ Demostrar el criterio de comparación por cociente, es decir:

$i)$ Si $L\neq 0$ y finito, ambas series tienen el mismo carácter.
$ii)$ Si $L=0$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ es convergente, entonces $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente.
$iii)$ Si $L=+\infty$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ es divergente, entonces $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es divergente.

SOLUCIÓN

7 Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{n+3}\right).$

SOLUCIÓN
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