Series absolutamente convergentes

Proporcionamos ejercicios sobre series absolutamente convergentes.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Demostrar que la serie $\displaystyle\sum _{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$ es convergente.
  2. Calcular la suma $S$ de la serie $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{b_0}{5^{n}}+\frac{b_1}{5^{n-1}}+\frac{b_2}{5^{n-1}}+\cdots+b_n\right),$$ sabiendo que $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ es absolutamente convergente con suma $3.$
  3. Demostrar el criterio de Cauchy:
    Una serie de números reales $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ es convergente si, y sólo si, para todo $\epsilon>0$ existe $n_0$ natural tal que $n\geq m\geq n_0\Rightarrow \left|u_n+u_{n+1}+\cdots+u_m\right|<\epsilon.$
  4. Demostrar que toda serie absolutamente convergente es convergente.
    Solución
  1. La serie de los valores absolutos es $$\displaystyle\sum _{n=1}^{+\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right|=\displaystyle\sum _{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2},$$ que es una serie de Riemann con $p=2>1.$ La serie dada es por tanto absolutamente convergente, luego es convergente.
  2. La serie dada es el producto de Cauchy de las series $\sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ y $\sum_{n=0}^{+\infty}1/5^n.$ La primera es absolutamente convergente por hipótesis. La segunda es de términos positivos, geométrica y con suma $1/(1-1/5)=5/4,$ luego también es absolutamente convergente. En consecuencia, $$S=3\cdot \frac{4}{5}=\frac{12}{5}.$$
  3. Sea $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n.$ Se verifica que para $n\geq m,$ $$\left|S_n-S_{m-1}\right|=\left|u_n+u_{n+1}+\cdots+u_n\right|,$$ por tanto, el teorema resulta del criterio de Cauchy para sucesiones.
  4. Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ absolutamente convergente. Sea $\epsilon>0.$ Por el criterio de Cauchy para series, existe $n_0$ natural tal que $$n\geq m\geq n_0\Rightarrow \left|\;\left|u_n\right|+\left|u_{n+1}\right|+\cdots+\left|u_m\right|\;\right|$$ $$=\left|u_n\right|+\left|u_{n+1}\right|+\cdots+\left|u_m\right|<\epsilon.$$ Pero $\left|u_n+u_{n+1}+\cdots+u_m\right|\leq \left|u_n\right|+\left|u_{n+1}\right|+\cdots+\left|u_m\right|,$ lo cual implica, de nuevo por el criterio de Cauchy, que la serie $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ es convergente.
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