Series absolutamente convergentes

TEORÍA

1 Demostrar que la serie $\displaystyle\sum _{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$ es convergente.

SOLUCIÓN

2 Calcular la suma $S$ de la serie $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{b_0}{5^{n}}+\frac{b_1}{5^{n-1}}+\frac{b_2}{5^{n-1}}+\cdots+b_n\right),$$ sabiendo que $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n$ es absolutamente convergente con suma $3.$

SOLUCIÓN

3  Demostrar el criterio de Cauchy:
Una serie de números reales  $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ es convergente si, y sólo si, para todo $\epsilon>0$ existe $n_0$ natural tal que $n\geq m\geq n_0\Rightarrow \left|u_n+u_{n+1}+\cdots+u_m\right|<\epsilon.$

SOLUCIÓN

4  Demostrar que toda serie absolutamente convergente es convergente.

SOLUCIÓN
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