Criterios de la raíz, cociente y Raabe

TEORÍA

1 Usando el criterio de la raíz, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:

$1)\;\displaystyle\sum \left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^n.\quad 2)\;\displaystyle\sum \left(\frac{3n-1}{2n+1}\right)^{n+2}.\quad3)\;\sum \frac{1}{n}.$

SOLUCIÓN

2 Usando el criterio del cociente, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:

$1)\;\displaystyle\sum \frac{3n-1}{\left(\sqrt{2}\right)^n}.\quad 2)\;\displaystyle\sum \frac{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}{1\cdot 5\cdot 9\cdot\ldots\cdot(4n-3)}.\quad3)\;\sum \frac{1}{n}.\quad 4)\;\displaystyle\sum \frac{n!}{3^n}.$

SOLUCIÓN

3 Usando el criterio del cociente, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:

$1)\;\displaystyle\sum \frac{(n+1)(n+2)}{n!}.\quad2)\;\displaystyle\sum \frac{5^n}{n!}.\quad3)\;\sum \frac{n}{2^n}.$

SOLUCIÓN

4 Usar el criterio del cociente, y después el de Raabe para analizar el carácter de la serie $\displaystyle\sum \frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot2n}{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}.$

SOLUCIÓN

5  Demostrar el criterio de la raíz:
Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie. Supongamos que $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}$ tiene límite $L.$ Entonces: $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente. $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.

SOLUCIÓN

6  Demostrar la regla de D’Alembert o criterio del cociente :
Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie. Supongamos que $\left|u_{n+1}/u_n\right|$ tiene límite $L.$ Entonces: $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente. $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.

SOLUCIÓN

7  Demostrar que si para una serie el límite $L$ correspondiente al criterio del cociente es $1,$ de este hecho no podemos deducir el carácter de la misma.

SOLUCIÓN

8  Demostrar que si para una serie el límite $L$ correspondiente al criterio de la raíz es $1,$ de este hecho no podemos deducir el carácter de la misma.

SOLUCIÓN

9 Usando el criterio del cociente, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:
$1)\;\displaystyle\sum \frac{3^{2n-1}}{n^2-n}.\quad 2)\;\displaystyle\sum \frac{(n+1)2^n}{n!}.\quad3)\;\sum n\left(\frac{3}{4}\right)^n.$

SOLUCIÓN

10 Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series de términos positivos
$1)\;\displaystyle\sum \frac{1}{n!}.\;\; 2)\;\displaystyle\sum \frac{1}{(n+3)^2-2}.\;\;3)\;\sum \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}.\;\; 4)\;\displaystyle\sum \frac{2n^2}{n^2+1}.$

SOLUCIÓN

11 Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series de términos positivos
$1)\;\displaystyle\sum \left(\frac{4n}{3n+1}\right)^n.\;\; 2)\;\displaystyle\sum \left(\frac{2n+1}{5n+2}\right)^{n/2}.\;\;3)\;\sum \frac{n^3}{e^n}.\;\; 4)\;\displaystyle\sum \frac{2^{n+1}}{n^n}.$

SOLUCIÓN

12 Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series de términos positivos
$1)\;\displaystyle\sum \operatorname{arcsen}\frac{1}{\sqrt{n}}.\;\; 2)\;\displaystyle\sum \operatorname{sen}\frac{1}{n^2}.\;\;3)\;\sum \log \left(1+\frac{1}{n}\right).\;\; 4)\;\displaystyle\sum \frac{2^{n}n!}{n^n}.$

SOLUCIÓN

13 Demostrar que si $\left|a\right|<1$, la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a^n\log n}{n+4}$ es absolutamente convergente.

SOLUCIÓN
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