Una integral por derivación paramétrica (2)

Enunciado
Calcular $\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{1}{(5-3\cos x)^3}\;dx$.

Sugerencia: Para adecuados valores de $\lambda$ considérese: $I(\lambda)=\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{1}{\lambda-3\cos x}\;dx$

Solución
Consideremos $D=[0,\pi]\times (3,+\infty)$ y la función

$f:D\to \mathbb{R},\quad f(x,\lambda)=\dfrac{1}{\lambda -3 \cos x}.$

Claramente $\lambda -3\cos x\neq 0$ para todo $(x,\lambda)\in D$ y $f\in \mathcal{C}^{\infty}(D)$. Por otra parte

$\dfrac{\partial f}{\partial \lambda}=\dfrac{-1}{(\lambda -3\cos x)^2},\;\dfrac{\partial^2 f}{\partial \lambda^2}=\dfrac{2}{(\lambda -3\cos x)^3}.$

Es decir, la función integrando es

$\dfrac{1}{(5 -3\cos x)^3}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial \lambda^2}(x,5).$

Hallemos ahora $I(\lambda)$ usando la substitución $t=\tan(x/2)$

$I(\lambda)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{ \frac{2}{1+t^2} }{\lambda -3\frac{1-t^2}{1+t^2}}\; dt=2\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{(\lambda +3)t^2+\lambda -3}\;dt=\\ \dfrac{2}{\lambda -3}\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{dt}{\left(\sqrt{\frac{\lambda +3}{\lambda -3}}t\right)^2+1}=\dfrac{2}{\sqrt{\lambda^2-9}}\left[\arctan \sqrt{\dfrac{\lambda +3}{\lambda -3}}\;t\right]_0^{+\infty}=\dfrac{\pi}{\sqrt{\lambda^2-9}}.$

Hallemos $I^{\prime\prime}(\lambda)$

$I(\lambda)=\pi (\lambda^2-9)^{-1/2}\\I’(\lambda)=-\pi \lambda (\lambda^2-9)^{-3/2}\\ I^{\prime\prime}(\lambda)=-\pi(\lambda^2-9)^{-3/2}+3\pi \lambda^2(\lambda^2-9)^{-5/2}=\\ \pi(\lambda^2-9)^{-3/2}\;[-1+3\lambda^2(\lambda^2-9)^{-1}].$

La derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial \lambda}$ es continua en $[0,\pi]\times (3,+\infty)$. Aplicando el teorema de derivación paramétrica obtenemos para todo $\lambda \in (3,+\infty)$

$I’(\lambda)=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{\partial f}{\partial \lambda}\;dx=-\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{dx}{(\lambda-3\cos x)^2}\;dx.$

Por análogas consideraciones

$I”(\lambda)=2\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{dx}{(\lambda-3\cos x)^3}\;dx\;,\quad \forall \lambda\in (3,+\infty). $

La integral pedida es por tanto

$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{dx}{(5-3\cos x)^3}\;dx=\dfrac{1}{2}I”(5)=\ldots=\dfrac{59\pi}{2048}.$

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