Criterio integral

Proporcionamos ejercicios sobre el criterio integral.

Enunciado
1. Usando el criterio integral, estudiar el carácter de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{n^2+1}.$
2. Usando el criterio integral, estudiar el carácter de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}ne^{-n^2}.$
3. Demostrar el criterio integral:
   Sea $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ continua. Supongamos además que $f$ es decreciente y positiva para $x$ suficientemente grande. Entonces, $\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)$ es convergente $\Leftrightarrow$ $\int_{1}^{+\infty}f(x)\;dx$ es convergente.

Solución
1. Consideremos la función $f:[1,+\infty)\to\mathbb{R},$ $f(x)=x/(x^2+1).$ Esta función es elemental y está definida en todo $\mathbb{R},$ en consecuencia es continua en los reales y en particular en $[1.+\infty).$ Por otra parte, $f$ es claramente positiva en $[1.+\infty).$
   Veamos ahora que es decreciente a partir de un $x\geq 1.$ Derivando: $$f'(x)=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\leq 0\text{ si }x\geq 1,$$ es decir $f$ es decreciente en $[1.+\infty).$ De acuerdo con el criterio integral, la serie dada es convergente si, y sólo si es convergente la integral impropia $\int_1^{+\infty}xdx/(x^2+1).$ Ahora bien, $$\int_1^{+\infty}\dfrac{x\;dx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\left[\log (x^2+1)\right]_1^{+\infty}=\frac{1}{2}(+\infty-0)=+\infty.$$ La integral es divergente, por tanto también es divergente la serie dada.
2. Consideremos la función $f:[1,+\infty)\to\mathbb{R},$ $f(x)=xe^{-x^2}.$ Esta función es elemental y está definida en todo $\mathbb{R},$ en consecuencia es continua en los reales y en particular en $[1.+\infty).$ Por otra parte, $f$ es claramente positiva en $[1.+\infty).$
   Veamos ahora que es decreciente a partir de un $x\geq 1.$ Derivando: $$f'(x)=e^{-x^2}-2x^2e^{-x^2}=(1-2x^2)e^{-x^2}<0\text{ si }x\geq 1,$$ es decir $f$ es decreciente en $[1.+\infty).$ De acuerdo con el criterio integral, la serie dada es convergente si, y sólo si es convergente la integral impropia $\displaystyle\int_1^{+\infty}xe^{-x^2}dx.$ Ahora bien, $$\int_1^{+\infty}xe^{-x^2}dx=-\frac{1}{2}\left[e^{-x^2}\right]_1^{+\infty}=-\frac{1}{2}(0-e^{-1})=\frac{1}{2e}.$$ La integral es convergente, por tanto también es convergente la serie dada.
3. Podemos suponer para la demostración que $f$ es positiva y decreciente para $x\geq 1,$ de esta manera variará solamente un número finito de términos de la serie, lo cual no afecta a su carácter. Sea $p\geq 1$ entero y llamemos $u_n=f(n).$ En el intervalo $[p,p+1]$ se verifica $$u_{p+1}=f(p+1)\leq f(x)\leq f(p)=u_p,$$ por tanto $$\int_p^{p+1}u_{p+1}\;dx\leq \int_p^{p+1}f(x)\;dx\leq \int_p^{p+1}u_{p}\;dx,$$ e integrando, $$u_{p+1}\leq \int_p^{p+1}f(x)\;dx\leq u_{p}.$$ Para $p=1,2,\ldots ,n-1:$ $$u_{2}\leq \int_1^{2}f(x)\;dx\leq u_{1}$$ $$u_{3}\leq \int_2^{3}f(x)\;dx\leq u_{2}$$ $$\ldots$$ $$u_{n}\leq \int_{n-1}^{n}f(x)\;dx\leq u_{n-1}.$$ Sumando las desigualdades anteriores: $$u_2+u_3+\cdots+u_n\leq \int_{1}^{n}f(x)\;dx\leq u_1+u_2+\cdots+u_{n-1}.$$ La segunda desigualdad anterior demuestra que si la serie $u_1+u_2+\ldots$ es convergente, entonces $\int_1^{+\infty}f(x)<+\infty,$ luego la integral es convergente. La primera desigualdad anterior demuestra que si la integral es convergente, entonces $u_1+u_2+\ldots<+\infty,$ luego la serie es convergente.