Dimensión de un espacio vectorial

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de dimensión de un espacio vectorial.

Enunciado
1. Haciendo uso de bases conocidas, hallar las dimensiones de los siguientes espacios vectoriales:
   $1)\; \mathbb{R}^n$ sobre $\mathbb{R}.$ $\quad 2)\;\mathbb{R}^{m\times n}$ sobre $\mathbb{R}.$ $\quad 3)$ $\mathbb{R}_n[x]$ sobre $\mathbb{R}.$
2. Haciendo uso de bases conocidas, hallar las dimensiones de los siguientes espacios vectoriales:
   $1)$ $\mathbb{R}[x]$ sobre $\mathbb{R}.$ $\quad 2)$ $\mathbb{C}^n$ sobre $\mathbb{C}.$ $\quad 3)$ $\mathbb{C}^n$ sobre $\mathbb{R}.$
3. Hallar la dimensión del espacio vectorial nulo.
4. Hallar la dimensión de un cuerpo considerado como espacio vectorial sobre si mismo.
5. Demostrar que la dimensión de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$ es infinita.
6. Determinar una base y la dimensión de $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}.$
7. Sea $K$ un cuerpo y $K(x)$ el cuerpo de las fracciones racionales en la indeterminada $x$ con coeficientes en $K.$ Hallar la dimensión de $K(x)$ sobre $K.$
8. Fácilmente se demuestra que $\mathbb{Q}(i)=\{a+bi:a,b\in \mathbb{Q}\}$ es un cuerpo con las operaciones usuales (se le llama cuerpo de los números de Gauss). Hallar la dimensión de $\mathbb{Q}(i)$ sobre $\mathbb{Q}.$

Solución
1. 1) Una base de este espacio es $$B=\{(1,0,\ldots,0),\;(0,1,\ldots,0),\;\ldots,\;(0,0,\ldots,1)\},$$ por tanto, su dimensión es $n.$
   2) Una base de este espacio es $$\begin{aligned}B=&\{\;\begin{bmatrix}1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 0 & 0\end{bmatrix}\;,\;\begin{bmatrix}0 & 1 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 0 & 0\end{bmatrix}\;,\ldots\\
   &\ldots,\;\begin{bmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 1 & 0\end{bmatrix}\;,\;\begin{bmatrix}0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&\vdots \\0 & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 & 0 &\ldots & 0 & 1\end{bmatrix}\;\},
   \end{aligned}$$ por tanto, su dimensión es $mn.$
   3) Una base de este espacio es $B=\{1,x,x^2,\ldots,x^n\},$ por tanto su dimensión es $n+1.$
2. 1) Una base de este espacio es $B=\{1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots\},$ por tanto su dimensión es $+\infty.$ De manera más precisa, $\dim \mathbb{R}[x]=\aleph_0$ (cardinal del conjunto de los números naturales).
   2) Una base de este espacio es $$B=\{u_1=(1,0,\ldots,0),\;u_2=(0,1,\ldots,0),\ldots,u_n=(0,0,\ldots,1)\},$$ por tanto, su dimensión es $n.$
   3) Una base de este espacio es $B’=\{u_1,\ldots,u_n,iu_1,\ldots,iu_n\},$ por tanto su dimensión es $2n.$
3. Una base del espacio vectorial nulo $\{0\}$ es $\emptyset,$ por tanto $\dim \{0\}=\text{card }\emptyset=0.$
4. Sea $\mathbb{K}$ cuerpo considerado como espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$. Entonces, $\{1\}$ es conjunto linealmente independiente por ser $1$ vector no nulo. Por otra parte, todo vector $x\in \mathbb{K}$ es igual al escalar $x$ por $1,$ luego $\mathbb{K}=L[1].$ En consecuencia $\{1\}$ es base de $\mathbb{K}$ y por tanto, $\dim\mathbb{K}=1.$
5. En efecto, si la dimensión fuera $m$ (finita), existirían $x_1,\ldots, x_m$ números reales tales que todo $x\in\mathbb{R}$ se podría expresar de manera única como $$x=\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_mx_m,\quad \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in\mathbb{Q}.$$ Entonces, $\text{card }\mathbb{R}=\text{card }\mathbb{Q}^m=\aleph_0,$ lo cual es absurdo.
6. Una base de $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}$ es $B=\{1,i\}.$ En efecto, todo $z\in\mathbb{C}$ es de la forma $x1+iy$ con $x,y\in \mathbb{R},$ luego $B$ es sistema generador. Por otra parte, $B$ es sistema libre pues $\lambda_1\cdot 1+\lambda_2i=0$ con $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ implica $\lambda_1=\lambda_2=0.$. En consecuencia se verifica $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2.$
7. El conjunto $\{1,x.x^2,\ldots\}\subset K(x)$ es libre e infinito, en consecuencia la dimensión de $K(x)$ sobre $K$ es $+\infty.$
8. Claramente$\{1,i\}$ es base de $\mathbb{Q}(i)$ sobre $\mathbb{Q},$ luego la dimensión pedida es $2.$