Dimensión de un espacio vectorial

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de dimensión de un espacio vectorial.

TEORÍA

1 Haciendo uso de bases conocidas, hallar las dimensiones de los siguientes espacios vectoriales:

$1)\; \mathbb{R}^n$ sobre $\mathbb{R}.$ $\quad 2)\;\mathbb{R}^{m\times n}$ sobre $\mathbb{R}.$ $\quad 3)$ $\mathbb{R}_n[x]$ sobre $\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN

2 Haciendo uso de bases conocidas, hallar las dimensiones de los siguientes espacios vectoriales:

$1)$ $\mathbb{R}[x]$ sobre $\mathbb{R}.$ $\quad 2)$ $\mathbb{C}^n$ sobre $\mathbb{C}.$ $\quad 3)$ $\mathbb{C}^n$ sobre $\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN

3 Hallar la dimensión del espacio vectorial nulo.

SOLUCIÓN

4 Hallar la dimensión de un cuerpo considerado como espacio vectorial sobre si mismo.

SOLUCIÓN

5 Demostrar que la dimensión de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$ es infinita.

SOLUCIÓN

6 Determinar una base y la dimensión de $\mathbb{C}$ sobre $\mathbb{R}.$

SOLUCIÓN

7 Sea $K$ un cuerpo y $K(x)$ el cuerpo de las fracciones racionales en la indeterminada $x$ con coeficientes en $K.$  Hallar la dimensión de $K(x)$ sobre $K.$

SOLUCIÓN

8  Fácilmente se demuestra que $\mathbb{Q}(i)=\{a+bi:a,b\in \mathbb{Q}\}$ es un cuerpo con las operaciones usuales (se le llama cuerpo de los números de Gauss). Hallar la dimensión de $\mathbb{Q}(i)$ sobre $\mathbb{Q}.$

SOLUCIÓN
Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.