Concepto de valor y vector propio

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de valor y vector propio.

TEORÍA

1 Se considera el endomorfismo $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dado por $$f\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2}&{2}\\{1}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{pmatrix}.$$ Analizar cuales de los siguientes vectores son vectores propios de $f$ $$v=(1,1)^t,\;v=(-2,1)^t,\;w=(3,1)$$

SOLUCIÓN

2 Sea $E$ el espacio vectorial $$E=\{x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\text{ es infinitamente derivable en }\mathbb{R}\}.$$ Demostrar que para todo $a\in\mathbb{R}$, la función $v(t)=e^{at}$ es vector propio del endomorfismo $$f:E\to E,\quad f\left(x(t)\right)=x’(t).$$

SOLUCIÓN

3 En el espacio vectorial real $E$ de los vectores libres del plano se considera el endomorfismo $f$ que rota cada vector $x\in E$ un ángulo $\theta=90^{0}$. Demostrar que $f$ no tiene vectores propios.

SOLUCIÓN

4 Sea $E\neq \{0\}$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$. Hallar los valores y vectores propios de los endomorfismos

$(a)$ $\mathbf{0}:E\to E,\;\mathbf{0}(x)=0\quad \forall x\in E$ (endomorfismo nulo).
$(b)$ $I:E\to E,\;I(x)=x\quad \forall x\in E$ (endomorfismo identidad).

SOLUCIÓN

5 Se considera la matriz $$A=\begin{bmatrix}{a}&{b}&{b}&b\\{b}&{a}&{b}&b\\{b}&{b}&{a}&b\\b&b&b&a\end{bmatrix}\quad (a,b\in\mathbb{R}).$$ Comprobar que $u=(1,1,1,1)^t$ y $v=(1,0,0,-1)^t$ son vectores propios de la matriz $A.$

SOLUCIÓN

6 Una matriz cuadrada $A$ se dice que es involutiva si, y sólo si $A^2=I.$ Demostrar que si $\lambda$ es valor propio de una matriz involutiva, entonces $\lambda=1$ o $\lambda=-1.$

SOLUCIÓN

7 Supongamos que $x$ es un vector propio de un endomorfismo $f:E\to E$, asociado a un valor propio $\lambda$. Demostrar que para todo entero $n>0$, $x$ también es un vector propio de $f^n$ correspondiente a $\lambda^n$.

SOLUCIÓN
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