Concepto de valor y vector propio

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de valor y vector propio.

RESUMEN TEÓRICO
    Enunciado
  1. Se considera el endomorfismo $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dado por $$f\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2}&{2}\\{1}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{pmatrix}.$$ Analizar cuales de los siguientes vectores son vectores propios de $f$ $$v=(1,1)^t,\;v=(-2,1)^t,\;w=(3,1)$$
  2. Sea $E$ el espacio vectorial $$E=\{x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}: x\text{ es infinitamente derivable en }\mathbb{R}\}.$$ Demostrar que para todo $a\in\mathbb{R}$, la función $v(t)=e^{at}$ es vector propio del endomorfismo $f:E\to E,\quad f\left(x(t)\right)=x’(t).$
  3. En el espacio vectorial real $E$ de los vectores libres del plano se considera el endomorfismo $f$ que rota cada vector $x\in E$ un ángulo $\theta=90^{0}$. Demostrar que $f$ no tiene vectores propios.
  4. Sea $E\neq \{0\}$ un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$. Hallar los valores y vectores propios de los endomorfismos
    $(a)$ $\mathbf{0}:E\to E,\;\mathbf{0}(x)=0\quad \forall x\in E$ (endomorfismo nulo).
    $(b)$ $I:E\to E,\;I(x)=x\quad \forall x\in E$ (endomorfismo identidad).
  5. Se considera la matriz $$A=\begin{bmatrix}{a}&{b}&{b}&b\\{b}&{a}&{b}&b\\{b}&{b}&{a}&b\\b&b&b&a\end{bmatrix}\quad (a,b\in\mathbb{R}).$$ Comprobar que $u=(1,1,1,1)^t$ y $v=(1,0,0,-1)^t$ son vectores propios de la matriz $A.$
  6. Una matriz cuadrada $A$ se dice que es involutiva si, y sólo si $A^2=I.$ Demostrar que si $\lambda$ es valor propio de una matriz involutiva, entonces $\lambda=1$ o $\lambda=-1.$
  7. Supongamos que $x$ es un vector propio de un endomorfismo $f:E\to E$, asociado a un valor propio $\lambda$. Demostrar que para todo entero $n>0$, $x$ también es un vector propio de $f^n$ correspondiente a $\lambda^n$.
    Solución
  1. Vector $u$:
    $f(u)=\begin{pmatrix}{2}&{2}\\{1}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{4}\\{4}\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}=4u,$ por tanto $u$ es vector propio de $f$ asociado al valor propio $\lambda=4.$
    Vector $v:$
    $f(v)=\begin{pmatrix}{2}&{2}\\{1}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{-2}\\{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-2}\\{1}\end{pmatrix}=1\begin{pmatrix}{-2}\\{1}\end{pmatrix}=1v,$ es decir $v$ es vector propio de $f$ asociado al valor propio $\lambda=1.$
    Vector $w:$
    $f(w)=\begin{pmatrix}{2}&{2}\\{1}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{3}\\{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{8}\\{6}\end{pmatrix},$ ahora bien, $$\begin{pmatrix}{8}\\{6}\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix}{3}\\{1}\end{pmatrix}\Leftrightarrow \lambda=8/3\text{ y }\lambda=6 .$$ No existe $\lambda\in\mathbb{R}$ satisfaciendo las condiciones anteriores, luego $w$ no es vector propio de $f$.
  2. Para todo $a\in\mathbb{R}$ la función $v(t)=e^{at}$ es no nula y se verifica $$f\left(v(t)\right)=v’(t)=ae^{at}=av(t).$$ Es decir, $v(t)=e^{at}$ es vector propio de $f$ asociado al valor propio $\lambda=a$.
  3. Si $x\in E$ es no nulo, entonces $f(x)$ es no nulo y está en distinta dirección que $x$. Esto implica que $f(x)$ no es proporcional a $x$ o equivalentemente $f(x)\neq \lambda x$ para todo $\lambda\in\mathbb{R}$. Es decir, $f$ no tiene ni valores ni vectores propios.
  4. $(a)$ Para todo $x\in E$ no nulo se verfica $\mathbf{0}(x)=0=0x$, es decir todo vector no nulo de $E$ es valor propio del endomorfismo nulo asociado al único valor propio $\lambda=0$.
    $(b)$ Para todo $x\in E$ no nulo se verifca $I(x)=x=1x$, es decir todo vector no nulo de $E$ es valor propio del endomorfismo identidad asociado al único valor propio $\lambda=1$.
  5. Tenemos $$Au=\begin{bmatrix}{a}&{b}&{b}&b\\{b}&{a}&{b}&b\\{b}&{b}&{a}&b\\b&b&b&a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}\\{1}\\{1}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{a+3b}\\{a+3b}\\{a+3b}\\{a+3b}\end{bmatrix}=(a+3b)\begin{bmatrix}{1}\\{1}\\{1}\\{1}\end{bmatrix},$$ $$Av=\begin{bmatrix}{a}&{b}&{b}&b\\{b}&{a}&{b}&b\\{b}&{b}&{a}&b\\b&b&b&a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{a-b}\\{0}\\{0}\\{b-a}\end{bmatrix}=(a-b)\begin{bmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{-1}\end{bmatrix}.$$ Es decir, $u$ es vector propio de $A$ correspondiente al valor propio $\lambda=a+3b$, y $v$ lo es correspondiente al $\lambda=a-b$.
  6. Si $\lambda$ es valor propio de la matriz involutiva $A,$ existe vector columna $x$ no nulo tal que $Ax=\lambda x.$ Multiplicando por $A:$ $$A(Ax)=A(\lambda x)\Rightarrow A^2x=\lambda (Ax)\Rightarrow Ix=\lambda (\lambda x)\Rightarrow x=\lambda^2x$$ $$\Rightarrow \left(\lambda^2-1\right)x=0\underbrace{\Rightarrow}_{x\neq 0}\lambda^2-1=0\Rightarrow \lambda=1\vee \lambda=-1.$$
  7. Paso base. Por hipótesis, $f(x)=\lambda x$, es decir $f^1(x)=\lambda^1 x$ lo cual implica que la propiedad es cierta para $n=1$.
    Paso de inducción. Se la propiedad cierta para $n$. Veamos que es cierta para $n+1$. En efecto, usando la hipótesis de inducción y que $f^n$ (composición de aplicaciones lineales) es lineal:$$f^{n+1}(x)=f\left(f^n(x)\right)=f(\lambda^nx)=\lambda^nf(x)=\lambda^n\lambda x=\lambda^{n+1}x.$$La fórmula es cierta para $n+1$.
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