Signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo

Determinamos la signatura de una forma cuadrática en un espacio euclídeo $n$-dimensional.

Enunciado
Sea $E$ un espacio vectorial real euclídeo de dimensión $n$ y sea $u\in E$ un vector de norma $1$ $(\left\|{u}\right\|=1).$ Para cada número real $a$ se define en $E$ la forma cuadrática

$Q_a:E\to \mathbb{R}\;,\quad Q_a(x)=\left(\left<x,u\right>\right)^2+a \left\|{x}\right\|^2.$

$(\left<\;\;,\;\right>$ representa el producto escalar en $E$). Se pide:

(a) Determinar razonadamente la signatura de $Q_a$ (índice de positividad, índice de negatividad, índice de nulidad), según los valores de $a$, si $-1<a<0$.
(b) La misma pregunta si $a\geq 0$ o bien $a\leq -1$.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
(a) Como $\left\|{u}\right\|=1$ el vector $u$ es no nulo y en consecuencia linealmente independiente. Por el teorema de la ampliación de la base, existen vectores $u_2,\ldots,u_n$ de $E$ tales que $B=\{u,u_2,\ldots,u_n\}$ es base de $E$. Aplicando el método de Gram-Schmidt a $B$ obtenemos la base ortonormaal de $E$: $B’=\{u,e_2,\ldots,e_n\}$. El vector de coordenadas de $u$ en $B’$ es $(1,0,\ldots,0)$. Llamemos $(x_1,\ldots,x_n)$ al vector de coordenadas de $x$ en $B’$. Dado que $B’$ es ortonormal, el producto escalar de dos vectores por medio de sus coordenadas en $B’$ se calcula como en el caso usual. Por tanto:

$Q_a(x)=x_1^2+a(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2)=(1+a)x_1^2+ax_2^2+\ldots+ax_n^2.$

En forma matricial

$Q_a(x)=\begin{pmatrix}x_1,x_2,\ldots,x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+a & 0 & \ldots & 0\\ 0 & a & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\ \vdots\\{x_n}\end{pmatrix}\;.$

Si $-1<a<0$ la matriz diagonal $D$ anterior es de la forma $D=\textrm{diag}\;(+,-,\ldots,-)$ y la signatura de $Q_a$ es en consecuencia $s=(1,n-1,0)$.

(b) Para $a\geq 0$ tenemos:

$\left \{ \begin{matrix} a=0\Rightarrow D=\textrm{diag}\;(1,0,\ldots,0)\Rightarrow s=(1,0,n-1) \\a>0\Rightarrow D=\textrm{diag}\;(+,+,\ldots,+)\Rightarrow s=(n,0,0).\end{matrix}\right.$

Para $a\leq -1$:

$$\left \{ \begin{matrix} a=-1\Rightarrow D=\textrm{diag}\;(0,-1,\ldots,-1)\Rightarrow s=(0,n-1,1) \\a<-1\Rightarrow D=\textrm{diag}\;(-,-,\ldots,-)\Rightarrow s=(0,n,0).\end{matrix}\right.$$

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