Integral primera y órbita circular

Enunciado
Hallar una integral primera no constante definida en un conjunto lo más amplio posible del plano de fases para el sistema diferencial

$\left \{ \begin{matrix}x’=3y+x^2y\\ y’=-4x+xy^2.\end{matrix}\right.$

Comprobar el resultado. Hallar las órbitas circulares.

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Expresamos el sistema en la forma

$\left \{ \begin{matrix}\dfrac{dx}{dt}=3y+x^2y\\ \dfrac{dy}{dt}=-4x+xy^2.\end{matrix}\right.$

Dividiendo y separando variables obtenemos

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-4x+xy^2}{3y+x^2y}\;,\quad \dfrac{x}{x^2+3}\;dx+\dfrac{y}{4-y^2}\;dy=0.$

Integrando

$\dfrac{1}{2}\log (x^2+3)-\dfrac{1}{2}\log |4-y^2|=C_1\;,\; \log \left | \dfrac{x^2+3}{4-y^2} \right |=C_2\;,\; \dfrac{x^2+3}{4-y^2}=C.$

Una integral primera del sistema es por tanto la función $F(x,y)=(x^2+3)/(4-y^2)$ definida en todo el plano de fases $\mathbb{R}^2$ excepto en las rectas $y=\pm 2.$ Comprobemos que efectivamente $F$ es una integral primera del sistema

$\left< \nabla F,v\right>=\dfrac{{\partial F}}{{\partial x}}v_1+\dfrac{{\partial F}}{{\partial y}}v_2=\dfrac{2x}{4-y^2}(3y+x^2y)+\dfrac{2y(x^2+3)}{(4-y^2)^2}(-4x+xy^2)$ $=\dfrac{2x(3y+x^2y)(4-y^2)+2y(x^2+3)(-4x+xy^2)}{(4-y^2)^2}=\ldots=0.$

Hallemos los puntos de equilibrio del sistema

$\left \{ \begin{matrix}3y+x^2y=0\\ -4x+xy^2=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}y(3+x^2)=0\\ x(-4+y^2)=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix}y=0\\ x(-4+y^2)=0.\end{matrix}\right.$

El único punto de equilibrio del sistema es $(x,y)=(0,0)$, por tanto todo conjunto de nivel $F(x,y)=C$ que no pase por $(0,0)$ es una órbita. Obtenemos una circunferencia si y sólo si $C=1:$ la circunferencia unidad $x^2+y^2=1.$ En el punto $(1,0)$ de esta órbita se verifica $v(1,0)=(0,-4)$, es decir la órbita se recorre en sentido horario.

Esta entrada fue publicada en Ecuaciones diferenciales. Guarda el enlace permanente.