Cálculo de la matriz exponencial

Proporcionamos tres ejemplos de cálculo de la matriz exponencial $e^{tA},$ según distintas formas canónicas.

Enunciado
1.  Hallar $e^{tA},$ siendo  $A=\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end{matrix} \right]\;.$
2.  Hallar $e^{tA},$ siendo  $A=\begin{bmatrix}{2}&{6}&{-15}\\{1}&{1}&{-5}\\{1}&{2}&{-6}\end{bmatrix}\;.$
3.  Hallar $e^{tA},$ siendo  $A=\begin{bmatrix}{3}&{-1}\\{13}&{-3}\end{bmatrix}\;.$

Solución
1.  Hallemos los valores propios de $A.$ Restando a la segunda y tercera filas la primera y posteriormente sumando a la primera columna las demás en $\left |{A-\lambda I}\right |$ obtenemos:

$\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{1}&{1}\\{1}&{2-\lambda}&{1}\\{1}&{1}&{2-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\;\;2-\lambda}&{1}&{1}\\{-1+\lambda}&{1-\lambda}&{0}\\{-1+\lambda}&{0}&{1-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{4-\lambda}&{1}&{1}\\{0}&{1-\lambda}&{0}\\{0}&{0}&{1-\lambda}\end{vmatrix}\\=(4-\lambda)(1-\lambda)^2=0\Leftrightarrow{\lambda=4\;\textrm{(simple)}},\;\lambda=1\;\textrm{(doble)}.$

Subespacios propios

$\ker(A-4I)\equiv\left \{ \begin{matrix}  -2x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1-2x_2+x_3=0\\x_1+x_2-2x_3=0\end{matrix}\right.\;, \quad \ker(A-I)\equiv \left \{ \begin{matrix}x_1+x_2+x_3=0\\ x_1+x_2+x_3=0\\ x_1+x_2+x_3=0.\end{matrix}\right.$

Entonces, $\dim \ker(A-4I)=1$ ($\lambda=4$ simple) y $$\dim \ker(A-I)=3-\textrm{rg}(A-I)=2.$$ Al coincidir las dimensiones con las multiplicidades, $A$ es diagonalizable. Unas bases de los subespacios propios son:

$B_4=\left\{{(1,1,1)}\right\}\;,\;\; B_1=\left\{{(-1,1,0),(-1,0,1)}\right\}.$

Una matriz $P$ invertible tal que $P^{-1}AP=\mbox{diag }(4,1,1)$ es:

$P=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{-1}\\{1}&{\;\;1}&{\;\;0}\\{1}&{\;\;0}&{\;\;1}\end{bmatrix}\;.$

La matriz $e^{tA}$ es por tanto:

$e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}
=P\;\begin{bmatrix}{e^{4t}}&{0}&{0}\\{0}&{e^{t}}&{0}\\{0}&{0}&{e^{t}}\end{bmatrix}\;P^{-1}$ $=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix}{e^{4t}+2e^t}&{e^{4t}-e^t}&{e^{4t}-e^t}\\{e^{4t}-e^t}&{e^{4t}+2e^t}&{e^{4t}-e^t}\\{e^{4t}-e^t}&{e^{4t}-e^t}&{e^{4t}+2e^t}\end{bmatrix}\;.$

2.  Hallemos los valores propios de $A.$ Para ello efectuamos la transformación $F_3-F_2$ y a continuación $C_2+C_3:$

$\displaystyle\begin{aligned}
|A-\lambda I|&=\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{6}&{-15}\\{1}&{1-\lambda}&{-5}\\{1}&{2}&{-6-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{6}&{-15}\\{1}&{1+\lambda}&{-5}\\{0}&{1+\lambda}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{-9}&{-15}\\{1}&{-4+\lambda}&{-5}\\{0}&{0}&{-1-\lambda}\end{vmatrix}=(-1-\lambda)\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{-9}\\{1}&{-4-\lambda}\end{vmatrix}\\
&=(-1-\lambda)(\lambda^2+2\lambda+1)=-(\lambda+1)(\lambda+1)^2=(\lambda+1)^3.
\end{aligned}$

El único valor propio de $A$ es por tanto $\lambda=-1$ (triple). La dimensión del subespacio propio $V_{-1}$ asociado es:

$\dim (V_{-1})=3-\mbox{rg}(A+I)=3-\text{rg }\begin{bmatrix}{3}&{6}&{-15}\\{1}&{2}&{-5}\\{1}&{2}&{-5}\end{bmatrix}=3-1=2.$

La dimensión no coincide con la multiplicidad, y por tanto $A$ no es diagonalizable. Los posibles polinomios mínimos son $\mu_1(\lambda)=\lambda +1,\mu_2(\lambda)=(\lambda +1)^2$ o $\mu_3(\lambda)=(\lambda+1)^3.$ Se verifica $\mu_1(A)=A +I\neq 0$ y $\mu_2(A)=(A +I)^2=0,$ es decir el polinomio mínimo de $A$ es $\mu_2(\lambda)=(\lambda+1)^2.$ Como consecuencia la forma canónica de Jordan de $A$ es:

$J=\begin{bmatrix}{-1}&{\;\;1}&{\;\;0}\\{\;\;0}&{-1}&{\;\;0}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{-1}\end{bmatrix}\;.$

Una base de Jordan $B_J=\{e_1,e_2,e_3\}$ en $\mathbb{R}^3$ para la matriz $A$ será pues una base satisfaciendo las condiciones:

$\left \{ \begin{matrix}Ae_1=-e_1\\ Ae_2=e_1-e_2\\Ae_3=-e_3 \end{matrix}\right.\mbox{ o bien } \left \{ \begin{matrix}(A+I)e_1=0\\ (A+I)e_2=e_1\\(A+I)e_3=0 .\end{matrix}\right.$

Tenemos que resolver sistemas del tipo $(A+I)x=h$ con $x=(x_1,x_2,x_3)^t$ y $h=(h_1,h_2,h_3),$ es decir sistemas del tipo

$(A+I)x=h\Leftrightarrow \begin{bmatrix}{3}&{6}&{-15}\\{1}&{2}&{-5}\\{1}&{2}&{-5}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{h_1}\\{h_2}\\{h_3}\end{bmatrix}\;.\quad (1)$

Aplicando el método de Gauss obtenemos que el sistema (1) es compatible si y sólo si se verifica $h_1=3h_2$ y $h_2=h_3$ (condiciones de compatibilidad) y la solución general es

$\left \{ \begin{matrix}x_1=h_2-2\alpha+5\beta\\ x_2=\alpha\\x_3=\beta \end{matrix}\right.\quad (\alpha,\beta\in \mathbb{R}).$

Vector $e_1.$ En este caso, $h_1=h_2=h_3=0$ y la solución general de (1) es $e_1=(-2\alpha+5\beta,\alpha,\beta).$ Este vector “$x$” estará de $h$ en el siguiente sistema, así que le imponemos las condiciones de compatibilidad, es decir $-2\alpha+5\beta=3\alpha$ y $\alpha=\beta.$ En consecuencia podemos elegir $\alpha =\beta=1$ y obtenemos el vector $e_1=(3,1,1)^t.$

Vector $e_2.$ En este caso, $h_1=3,h_2=h_3=1$ y la solución general de (1) es $e_2=(1-2\alpha+5\beta,\alpha,\beta).$ Eligiendo $\alpha=\beta=0$ obtenemos el vector $e_2=(1,0,0)^t.$

Vector $e_3.$ Como en el caso de $e_1$ la solución general de (1) es $e_1=(-2\alpha+5\beta,\alpha,\beta)$. Elegimos $\alpha$ y $\beta$ de tal manera que $e_1$ y $e_3$ sean linealmente independientes, por ejemplo $\alpha=1,\beta=0$ con lo cual obtenemos el vector $e_3=(-2,1,0)^t.$

En consecuencia, una matriz $P$ que satisface $P^{-1}AP=J$ es

$P=\begin{bmatrix}{e_1}&{e_2}&{e_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{1}&{-2}\\{1}&{0}&{\;\;1}\\{1}&{0}&{\;\;0}\end{bmatrix}\;.$

La matriz exponencial es:

$e^{tA}=Pe^{tJ}P^{-1}=P\;e^{-t}\begin{bmatrix}{1}&{t}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\;P^{-1}=e^{-t}\begin{bmatrix}{1+3t}&{6t}&{-15t}\\{t}&{2t+1}&{-5t}\\{t}&{2t}&{1-5t}\end{bmatrix}\;.$

 3.  Valores propios de $A:$

$\begin{vmatrix}{3-\lambda}&{-1}\\{13}&{-3-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2+4=0 \Leftrightarrow \lambda=\pm 2i \mbox{ (simples)}.$

La matriz $A$ es por tanto diagonalizable en $\mathbb{C}.$ El subespacio propio $V_{2i}$ asociado a $2i$ y una base de éste son:

$V_{2i}\equiv \left \{ \begin{matrix}  (3-2i)x_1-x_2=0\\ 13x_1+(-3-2i)x_2=0,\end{matrix}\right.\quad B_{V_{2i}}=\{(1,3-2i)\}.$

Como $A$ es real, los vectores de $V_{-2i}$ se obtienen conjugando los de $V_{2i},$ es decir una matriz $P$ que cumple $P^{-1}AP=D=\mbox{diag }(2i,-2i)$ es:

$P=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{3-2i}&{3+2i}\end{bmatrix}\;.$

La matriz exponencial es:

$e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}=P\;\begin{bmatrix}{e^{2it}}&{0}\\{0}&{e^{-2it}}\end{bmatrix}\;P^{-1}\;.$

Usando que $2i\sin 2t=e^{2it}-e^{-2it}$ y $2\cos 2t=e^{2it}+e^{-2it}$ obtenemos:

$e^{tA}=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}{2\cos 2t+3\sin 2t}&{-\sin 2t}\\{13\sin 2t}&{2\cos 2t-3\sin 2t}\end{bmatrix}.$[

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