Potencial de un campo con función homogénea

Enunciado
Se trata de probar que todo campo vectorial de la forma $\overrightarrow{F}(x,y,z)=g(x,y)\vec{k}$ donde $g(x,y)$ es una función continua en $\mathbb{R}^2$ conocida, admite una función potencial de la forma $\overrightarrow{V}(x,y,z)=f(x,y)(-y\vec{i}+x\vec{j})$.

(a) Deducir la ecuación que debe satisfacer $f$ para que en todo punto se cumpla $\textrm{rot}(\overrightarrow{V})=\overrightarrow{F}$.

(b) Determinar $f$ cuando $g$ sea una función homogénea de grado $\alpha$. Aplíquese al caso en que $g(x,y)=x^2+2xy+3y^2$.

(c) Resolver en el caso general la ecuación obtenida en el apartado (a). Aplíquese al caso en que la función $g$ viene dada por: $g(x,y)=\dfrac{1}{(1+x^2+2xy+3y^2)^2}$.

Indicación : derívese la función dada por $\varphi(t)=f(tx,ty)$.

 (Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
(a) Tenemos:

$\textrm{rot}(\overrightarrow{V})=\begin{vmatrix}{\vec{i}}&{\vec{j}}&{\quad \vec{k}}\\{\dfrac{{\partial }}{{\partial x}}}&{\dfrac{{\partial }}{{\partial y}}}&{\quad \dfrac{{\partial }}{{\partial z}}}\\{-yf(x,y)}&{xf(x,y)}&{\quad 0}\end{vmatrix}=\\
\left(f(x,y)+x\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}+f(x,y)+y\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}\right)\vec{k}.$

Igualando $\textrm{rot}(\overrightarrow{V})=\overrightarrow{F}$ obtenemos la ecuación pedida:

$x\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}+f(x,y)+y\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}+2f(x,y)=g(x,y).$

(b) Elijamos $f(x,y)$ homogénea de grado $\alpha$, entonces por el teorema de Euler se verifica $$x\frac{{\partial f}}{{\partial x}}+y\frac{{\partial f}}{{\partial y}}=\alpha f(x,y) $$ y la relación obtenida en el apartado anterior se puede expresar en la forma $(\alpha +2)f(x,y)=g(x,y)$. Como $g$ es continua en $\mathbb{R}^2$, si es homogénea de grado $\alpha$ entonces $g(tx,ty)=t^{\alpha}g(x,y)$. Si fuera $\alpha<0$, entonces para $t=0$ quedaría $g(0,0)=0^{\alpha}g(0,0)$ y $g$ no sería continua en $(0,0)$. Ha de ser pues $\alpha\geq 0$. Entonces, existe una solución $f(x,y)$ homogénea de grado $\alpha \geq 0$ que viene dada por:

$f(x,y)=\dfrac{1}{\alpha +2}g(x,y).$

En el caso particular de ser $g(x,y)=x^2+2xy+3y^2$ tenemos $g(tx,ty)=t^2g(x,y)$, es decir $\alpha =2$ y por tanto $f(x,y)=g(x,y)/4$. Veamos si esta solución es única. La ecuación obtenida en el apartado (a) es:

$x\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}+f(x,y)+y\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}+2f(x,y)=g(x,y).$

Esta es una ecuación diferencial lineal en derivadas parciales, en consecuencia sus soluciones son la suma de una solución particular con todas las soluciones de la homogénea. Si demostramos que la única solución de la ecuación homogénea es la función nula, habremos demostrado que la única solución es la $f(x,y)$ encontrada anteriormente. Consideremos $\varphi(t)=f(tx,ty)$ y derivemos:

$\varphi’(t)=x\dfrac{{\partial }}{{\partial x}}f(tx,ty)+y\dfrac{{\partial }}{{\partial y}}f(tx,ty).$

Como la ecuación diferencial es homogénea, se ha de verificar en todo punto, sustituyendo $x$ por $tx$ e $y$ por $ty$ obtenemos:

$tx\dfrac{{\partial }}{{\partial x}}f(tx,ty)+ty\dfrac{{\partial }}{{\partial y}}f(tx,ty)+2f(tx,ty)=0.$

Es decir, $t\varphi’ (t)+2\varphi (t)=0$. Multiplicando por $t$ queda $t^2\varphi’ (t)+2t\varphi (t)=0$ o bien $(d/dt)(t^2\varphi(t))=0$, cuya solución general es $t^2\varphi (t)=K$ para todo $t\in\mathbb{R}$. Haciendo $t=0$ queda $K=0$ lo cual implica $\varphi(t)=0$ para todo $t\neq 0$. Como $\varphi(t)$ es continua en $\mathbb{R}$ se deduce que $\varphi$ es la función idénticamente nula. Dado que $\varphi(1)=f(x,y)$ se concluye que $f$ es idènticamente nula. La única solución de la ecuación completa es por tanto:

$f(x,y)=\dfrac{1}{4}(x^2+2xy+3y^2).$

(c) Se trata ahora de resolver la ecuación en el caso general. Hagamos $\psi (t)=g(tx,ty)$. La función $\varphi (t)$ ha de ser solución de la ecuación diferencial $t\varphi’(t)+2\varphi(t)= \psi (t)$. Multiplicando por $t$ obtenemos $(d/dt)(t^2\varphi (t))=t\psi (t)$. Integrando entre $0$ y $1$ la igualdad anterior:

$\displaystyle\int_0^1t \psi(t)\;dt=\displaystyle\int_0^1\dfrac{d}{dt}\left(t^2 \varphi(t)\right)\;dt=\left[t^2 \varphi (t)\right]_0^1= \varphi (1)=f(1x,1y)=f(x,y).$

Para la función dada $g(x,y)=1/(1+x^2+2xy+3y^2)^2$ tenemos:

$f(x,y)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{t\;dt}{(\;1+t^2(x^2+2xy+3y^2)\;)^2}\;,\quad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2.$

Haciendo $(x,y)=(0,0)$ tenemos $f(0,0)=\int_0^1t\;dt=1/2$. Por otra parte la forma cuadrática $x^2+2xy+3y^2$ es definida positiva al tener sus dos menores principales positivos. Tiene pues sentido llamar $a^2=x^2+2xy+3y^2$. Haciendo el cambio de variable $u=1+a^2t^2$ obtenemos $du=2a^2t\;dt$ y por tanto:

$f(x,y)=\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t\;dt}{(1+a^2t^2)^2}=\displaystyle\int_1^{1+a^2} \dfrac{u^{-2}\;du}{2a^2}=\dfrac{1}{2a^2}\left[-\frac{1}{u}\right]_1^{1+a^2}=\dfrac{1}{2(1+a^2)}.$

En consecuencia la función pedida es:

$f(x,y)=\dfrac{1}{2(1+x^2+2xy+3y^2)}.$

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