Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de valores y vectores propios y el polinomio característico.

TEORÍA

1 Sea $E$ un espacio vectorial real y $f:E\to E$ el endomorfismo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{2}\\{1}&{3}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Calcular los valores propios de $f$.
$(b)$ Determinar los subespacios propios, sus dimensiones y una base de cada uno de ellos.

SOLUCIÓN

2 Sea $E$ un espacio vectorial real y $f:E\to E$ el endomorfiamo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{5}&{-1}\\{1}&{\;\;3}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Calcular los valores propios de $f$.
$(b)$ Determinar los subespacios propios, sus dimensiones y una base de cada uno de ellos.

SOLUCIÓN

3 Sea $E$ un espacio vectorial y $f:E\to E$ el endomorfismo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{2}&{-1}\end{bmatrix}.$$ Calcular los valores propios de $f$, los subespacios propios, sus dimensiones y una base de cada uno de ellos en los casos:
$(a)$ El cuerpo de escalares es $\mathbb{R}$.
$(b)$ El cuerpo de escalares es $\mathbb{C}$.

SOLUCIÓN

4 Sea $E$ un espacio vectorial real y $f:E\to E$ el endomorfiamo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-3}&{3}\\{3}&{-5}&{3}\\{6}&{-6}&{4}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Calcular los valores propios de $f$.
$(b)$ Determinar los subespacios propios, sus dimensiones y una base de cada uno de ellos.

SOLUCIÓN

5  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ de  dimensión finita $n$. Sea $A$ la matriz de $f$ respecto de una determinada base $B$ de $E$. Demostrar que:

$(a)$ $\lambda\in\mathbb{K} \text{ es valor propio de } f \Leftrightarrow \det (A-\lambda I)=0$
$(b)$ Si $\lambda\in \mathbb{K}$ es valor propio de $f$, entonces $x\in V_{\lambda}\Leftrightarrow (A-\lambda I)X=0$ en donde $X$ es el vector de coordenadas de $x$ en la base $B$.

SOLUCIÓN

6  Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A,B\in\mathbb{K}^{n\times n}$ dos matrices semejantes. Demostrar que $A$ y $B$ tienen el mismo polinomio característico.

SOLUCIÓN

7 Sea $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ y sea $\chi(\lambda)$ su polinomio característico. Demostrar que: $$\begin{aligned}&\chi(\lambda)=\lambda^2-(\text{traza } A)\lambda +\det A\quad(\text{si }n=2),\\
&\chi(\lambda)=-\lambda^3+(\text{traza } A)\lambda^2-(A_{11}+A_{22}+A_{33})\lambda +\det A\quad(\text{si }n=3),\end{aligned}$$ en donde $A_{ii}$ representa el adjunto del elemento $a_{ii}$ de la matriz $A$.

SOLUCIÓN

8  Sea $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ y sea $\chi(\lambda)$ su polinomio característico. Demostrar que $$\chi(\lambda)=(-1)^n\lambda^n+(-1)^{n-1}(\text{traza } A)\lambda^{n-1}+\ldots+\det A.$$

SOLUCIÓN

9  Sea $f$ un endomorfismo sobre un espacio vectorial $E$ de dimensión finita sobre el cuerpo $\mathbb{K}$. Sea $\lambda_i$ valor propio de $f$. Demostrar que $1\leq\dim V_{\lambda_i}\leq m(\lambda_i), $ en donde $m(\lambda_i)$ representa la multiplicidad de $\lambda$ como raíz del polinomio característico de $f$.

SOLUCIÓN
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