Familia uniparamétrica de cónicas

Enunciado
Clasificar la siguiente familia uniparamétrica de cónicas según los distintos valores del parámetro real $\lambda$

$\lambda x^2+y^2+2xy+2\lambda x+y=0.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
La matriz correspondiente a la familia de cónicas dada es:

$A=\begin{bmatrix}{\lambda}&{1}&{\lambda}\\{1}&{1}&{1/2}\\{\lambda}&{1/2}&{0}\end{bmatrix}\;.$

Los invariantes lineal, cuadrático y cúbico son:

$$s=a_{11}+a_{22}=\lambda +1,\; \delta=A_{33}=\lambda -1,\;\Delta=\det A=-\lambda\left (\lambda-\frac{3}{4}\right ).$$

Primer caso: $\delta>0.$ Esto ocurre cuando $\lambda>1.$ La cónica es de tipo elíptico. Dado que en este caso $\delta>0$ y $\Delta <0,$ se verifica $s\Delta <0$ y por tanto la cónica es una elipse real. Veamos si alguna de estas elipses es circunferencia. Los valores propios asociados a la cónica son las soluciones de la ecuación:

$\begin{vmatrix}{\lambda -\alpha}&{1}\\{1}&{1-\alpha}\end{vmatrix}=\alpha^2-(\lambda +1)\alpha +\lambda -1=0.$

Existe un valor propio doble si y sólo si el discriminante $(\lambda +1)^2-4(\lambda-1)$ es nulo. Esto equivale a $\alpha^2-2\alpha +5=0,$ ecuación que no tiene soluciones reales, es decir no hay circunferencias.

Segundo caso: $\delta<0.$ Esto ocurre cuando $\lambda<1.$ La cónica es de tipo hiperbólico. Es una hipérbola salvo cuando $\Delta$ se anula ($\lambda=0$ o $\lambda=3/4$), en los que tenemos pares de rectas reales secantes.

Tercer caso: $\delta=0.$ Esto ocurre cuando $\lambda=1.$ La cónica es de tipo parabólico. Además en este caso $\Delta \neq 0,$ con lo cual se trata de una parábola.

Agrupando los resultados obtenidos:

Hipérbola: $\lambda\in (-\infty,0)\cup (0,3/4)\cup (3/4,1).$
Rectas reales secantes: $\lambda=0\;\vee \lambda=3/4.$
Parábola: $\lambda=1.$
Elipse real: $\lambda\in (1,+\infty).$

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